Poređenje i računanje s cijelim brojevima

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije ti ćeš moći:

porediti dva cijela broja koristeći brojevnu pravu;
sabirati cijele brojeve, uključujući sabiranje dva negativna broja;
oduzimati cijele brojeve i prepoznati oduzimanje negativnog broja;
riješiti jednostavan zadatak iz života koristeći sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Poređenje cijelih brojeva

Na brojevnoj pravoj veći je onaj broj koji je više desno. Iz toga slijede pravila:

Svaki pozitivan broj je veći od svakog negativnog broja. Npr. −3 < 2.
Od dva negativna broja veći je onaj koji je bliži nuli. Npr. −5 < −2, jer je −2 bliže nuli (−5 je dalje u negativnom smjeru).

−3 < 2 • −5 < −2

2. Sabiranje cijelih brojeva

Sabiranje cijelih brojeva možeš zamisliti kao kretanje po brojevnoj pravoj: pozitivan broj te pomjera udesno, a negativan ulijevo.

−3 + 5 = 2 • −4 + (−6) = −10 • 7 + (−10) = −3

Kad sabiraš dva broja istog predznaka, saberi njihove apsolutne vrijednosti i zadrži zajednički predznak (−4 + (−6) = −10). Kad sabiraš brojeve različitog predznaka, oduzmi manju apsolutnu vrijednost od veće i uzmi predznak broja s većom apsolutnom vrijednošću (7 + (−10): 10 − 7 = 3, predznak je kao kod −10, pa je rezultat −3).

3. Oduzimanje cijelih brojeva

Oduzimanje cijelog broja je isto što i sabiranje njegovog suprotnog broja. Ovo pravilo je ključno:

3 − 7 = 3 + (−7) = −4 • −2 − 5 = −2 + (−5) = −7

💡 Oduzimanje negativnog broja Kad oduzimaš negativan broj, to je isto kao sabiranje njegovog suprotnog (pozitivnog) broja: −2 − (−5) = −2 + 5 = 3. Ovdje oduzimanje negativnog broja zamjenjuješ sabiranjem njemu suprotnog broja. Razlikuj ovaj postupak od pravila znakova pri množenju.

4. Vizual: kalkulator cijelih brojeva

🧮 Izračunaj zbir ili razliku

Upiši dva cijela broja (mogu biti i negativni) i izaberi operaciju. Prikazaćemo postupak korak po korak i tačan rezultat.

Prvi broj: Drugi broj:

Gledaj kako se tačka skače po brojevnoj pravoj do rezultata — svaki skok je jedan korak od +1 ili −1.

5. Rješavamo korak po korak: −2 − (−5)

−2 − (−5)Pogledaj izraz. Imamo −2 − (−5): oduzimamo negativan broj −5 od broja −2.

−(−5)=+5Prepoznaj oduzimanje negativnog broja. Oduzimanje negativnog broja postaje sabiranje njegovog suprotnog broja: − (−5) = + 5.

−2 − (−5)=−2 + 5Prepiši izraz kao sabiranje. −2 − (−5) = −2 + 5.

−2 + 5=3Izračunaj. Brojevi su suprotnog predznaka: 5 − 2 = 3, predznak je kao kod većeg po apsolutnoj vrijednosti (5, pozitivan). Rezultat: −2 + 5 = 3.

−2 − (−5)=3Zapiši konačan odgovor. −2 − (−5) = 3. ✅

Primjer iz života: Temperatura je bila −4°C ujutro, a do podneva je porasla za 9 stepeni. Kolika je temperatura u podne?
Rješenje: "porasla za 9 stepeni" znači sabiranje: −4 + 9. Brojevi su suprotnog predznaka: 9 − 4 = 5, predznak je kao kod većeg po apsolutnoj vrijednosti (9, pozitivan). Dakle −4 + 9 = 5°C — u podne je temperatura 5°C.

Još jedan primjer: Džeparac i dug
Amar je posudio od brata 15 KM da kupi loptu. To znači da duguje 15 KM, pa njegovo stanje zapisujemo kao −15 KM.
Korak 1 — dobije džeparac: baka mu da 20 KM džeparca. Sabiramo: −15 + 20.
Brojevi su suprotnog predznaka: 20 − 15 = 5, predznak kao kod većeg broja (20, pozitivan). Dakle −15 + 20 = 5 KM — Amar sada ima 5 KM.
Korak 2 — kupi svesku za 8 KM: oduzimamo: 5 − 8.
Brojevi su suprotnog predznaka: 8 − 5 = 3, predznak kao kod većeg broja (8, pa rezultat ide u minus). Dakle 5 − 8 = −3 KM — Amar opet duguje, ovaj put 3 KM. ✅

⚠️ Česte greške

Kod sabiranja dva negativna broja zaboravi se predznak rezultata. −4 + (−6) nije 10, nego −10 — kad su oba broja negativna, i rezultat je negativan.
Oduzimanje negativnog broja tretira se kao obično oduzimanje. −2 − (−5) nije −2 − 5 = −7, nego −2 + 5 = 3 — minus ispred zagrade i minus unutar zagrade zajedno daju plus.
Zabuna s pravilom "minus puta minus" van konteksta. Kod oduzimanja negativnog broja dodaj njegov suprotni broj. Dva negativna sabirka daju negativan zbir: −2 + (−5) = −7. Proizvod dva negativna faktora je pozitivan: (−2) · (−5) = 10.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Poređenje cijelih brojeva

Primjer 1

Uporedi −8 i −3.

|−8| = 8; |−3| = 3Odredi udaljenosti od nule.

−8 je lijevo od −3Na brojevnoj pravoj veći broj je desno.

−8 < −3Zapiši traženi odnos.

Primjer 2

Uporedi −2 i 5.

|−2| = 2; |5| = 5Odredi udaljenosti od nule.

−2 je lijevo od 5Na brojevnoj pravoj veći broj je desno.

−2 < 5Zapiši traženi odnos.

Primjer 3

Uporedi 0 i −4.

|0| = 0; |−4| = 4Odredi udaljenosti od nule.

−4 je lijevo od 0Na brojevnoj pravoj veći broj je desno.

0 > −4Zapiši traženi odnos.

Sabiranje cijelih brojeva

Primjer 1

Izračunaj −4 + (−3).

−4 + (−3)=−4 + (−3)Zadrži znak svakog sabirka.

|−4| = 4; |−3| = 3Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

−4 + (−3)=−7Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

−7 − (−3)=−4Provjeri obrnutom računskom operacijom.

Primjer 2

Izračunaj −9 + (5).

−9 + (5)=−9 + (5)Zadrži znak svakog sabirka.

|−9| = 9; |5| = 5Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

−9 + (5)=−4Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

−4 − (5)=−9Provjeri obrnutom računskom operacijom.

Primjer 3

Izračunaj 6 + (−8).

6 + (−8)=6 + (−8)Zadrži znak svakog sabirka.

|6| = 6; |−8| = 8Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

6 + (−8)=−2Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

−2 − (−8)=6Provjeri obrnutom računskom operacijom.

Oduzimanje cijelih brojeva

Primjer 1

Izračunaj −4 − (−7).

−4 − (−7)=−4 + (7)Oduzimanje je sabiranje suprotnog broja.

|−4| = 4; |7| = 7Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

−4 + (7)=3Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

3 + (−7)=−4Provjeri obrnutom računskom operacijom.

Primjer 2

Izračunaj 3 − (8).

3 − (8)=3 + (−8)Oduzimanje je sabiranje suprotnog broja.

|3| = 3; |−8| = 8Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

3 + (−8)=−5Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

−5 + (8)=3Provjeri obrnutom računskom operacijom.

Primjer 3

Izračunaj −6 − (2).

−6 − (2)=−6 + (−2)Oduzimanje je sabiranje suprotnog broja.

|−6| = 6; |−2| = 2Isti znak: saberi udaljenosti. Različiti znakovi: oduzmi manju udaljenost od veće.

−6 + (−2)=−8Kod različitih znakova uzmi znak broja veće apsolutne vrijednosti.

−8 + (2)=−6Provjeri obrnutom računskom operacijom.

✅ Kviz — provjeri sebe (5 pitanja)

1. Koji je znak tačan: −5 ___ −2?

2. Koliko je −3 + 5?

3. Koliko je −4 + (−6)?

4. Koliko je −2 − (−5)?

5. Temperatura −4°C poraste za 9 stepeni. Kolika je nova temperatura?

Provjeri i objasni rezultat

Očekuješ li pozitivan, negativan ili nulti rezultat? Sabiranje provjeri oduzimanjem, a račun na brojevnoj pravoj provjeri ponovnim polaskom od početnog broja. Za −4 + 7 = 3 provjera je 3 − 7 = −4.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 31. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.