Vektori, sabiranje i množenje skalarom

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

opisati pravac, smjer i intenzitet vektora
grafički sabrati vektore i odrediti suprotni vektor
objasniti kako množenje brojem mijenja dužinu i smjer

1. Razumij pojam

Vektor prikazujemo orijentisanom duži, odnosno strelicom. Vektor AB ima početak A i kraj B. Ima pravac, smjer i intenzitet (dužinu). Prava određuje pravac, a od dva moguća kretanja po njemu strelica određuje smjer.

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smjer i dužinu, čak i kada su nacrtani na različitim mjestima. Vektori AB i BA su suprotni: iste su dužine i pravca, ali suprotnog smjera. Nulti vektor ima dužinu nula i početak mu se poklapa s krajem.

2. Poveži i objasni

Za zbir a + b prenesi početak b na kraj a, bez promjene dužine i smjera. Vektor od početka prvog do kraja drugog je zbir: to je pravilo trougla. Ako oba imaju zajednički početak, dijagonala paralelograma predstavlja zbir. Vrijedi a + b = b + a.

Za 2a zadrži smjer i udvostruči dužinu. Za (−2)a udvostruči dužinu i obrni smjer. Uopće, broj k množi dužinu s |k|; za negativan k mijenja smjer. Razlika a − b jednaka je zbiru a + (−b). Vektori su korisni za opis pomjeranja, ali dužina puta nije uvijek jednaka dužini rezultujućeg pomjeranja.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Skalar k za vektor a

4. Riješi korak po korak

a = (3, 0); b = (0, 2)Pređi 3 polja udesno: to je vektor a. Zatim 2 polja gore: vektor b.

O → (3, 0) → (3, 2)Nacrtaj a od početne tačke O, a b od kraja a. Sačuvaj njegove 2 jedinice dužine i smjer.

→OT = a + b = (3, 2)Spoji O s konačnom tačkom T. Vektor OT je a + b: ukupno pomjeranje je 3 udesno i 2 gore.

a + b=b + aProvjeri obrnutim redom: 2 gore pa 3 udesno završava u istoj tački. Put ima 5 jedinica, ali pomjeranje nije put duž dvije stranice.

5. Primijeni znanje

Primjer: Vektor a predstavlja pomjeranje 2 polja udesno i 1 gore. Vektor 3a znači 6 polja udesno i 3 gore, a −a znači 2 ulijevo i 1 dolje. Zbir a + (−a) daje nulti vektor. Kada nacrtaš isti vektor od drugog početka, on ostaje jednak: bitni su pravac, smjer i dužina.

6. Vježbaj i obrazloži

Na kvadratnoj mreži nacrtaj a: 4 desno i 1 gore, b: 2 lijevo i 3 gore. Grafički odredi a + b, a − b i −2b.

Provjeri pomjeranja

a + b: 2 desno i 4 gore. a − b: 6 desno i 2 dolje. −2b: 4 desno i 6 dolje. U svakom crtežu provjeri krajnju tačku.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Pravac i smjer nisu isto.
Pri prenošenju vektora nemoj ga okretati ili mijenjati dužinu.
Zbir dužina vektora obično nije dužina njihovog zbira.

Množenje vektora brojem bez nagađanja

Broj kojim množiš vektor zove se skalar. Za pozitivan skalar zadrži smjer, za negativan ga obrni, a dužinu pomnoži apsolutnom vrijednošću skalara. Za k = 0 dobijaš nulti vektor; njemu ne pridružujemo smjer nenultog vektora. Pomjeranja možeš provjeriti brojanjem kvadratića, bez računanja dužine dijagonale.

Množenje vektora skalarom — korak po korak

Primjer 1

Vektor a pomjera 2 polja desno i 1 gore. Nacrtaj 3a.

a: 2 desno, 1 gore; k = 3Skalar je pozitivan: smjer se čuva.

3a: 6 desno, 3 goreOba dijela pomjeranja pomnoži sa 3.

|3a| = 3|a|Tri uzastopne kopije a daju vektor tri puta veće dužine.

Primjer 2

Vektor b pomjera 3 polja lijevo i 2 gore. Nacrtaj −2b.

b: 3 lijevo, 2 gore; k = −2Prvo prepoznaj i veličinu skalara i njegov znak.

−b: 3 desno, 2 doljeNegativan znak obrće smjer cijelog pomjeranja.

−2b: 6 desno, 4 doljeSada udvostruči dužinu.

|−2b| = 2|b|Dužina je pozitivna; minus opisuje smjer, a ne negativnu dužinu.

Primjer 3

Vektor c pomjera 4 polja desno i 2 dolje. Nacrtaj (1/2)c i 0c.

(1/2)c: 2 desno, 1 doljePozitivan faktor manji od 1 skraćuje vektor.

|(1/2)c| = (1/2)|c|Smjer je isti, dužina upola manja.

0c = 0; |0c| = 0Početak i kraj nultog vektora su ista tačka. Ne crtaj strelicu proizvoljnog smjera.

Pokušaj samostalno

Za a koji pomjera 2 lijevo i 4 gore nacrtaj −a, (1/2)a i −(1/2)a. Provjeri da li zbir posljednja dva daje nulti vektor.

Provjeri i obrazloži

−a pomjera 2 desno i 4 dolje; (1/2)a pomjera 1 lijevo i 2 gore; −(1/2)a pomjera 1 desno i 2 dolje. Posljednja dva su suprotna, pa je njihov zbir nulti vektor.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Vektor određen dvjema tačkama

Primjer 1

Odredi komponente vektora AB ako je A(1, 2) i B(5, 3).

Δx = 5 − (1) = 4Od x-koordinate kraja oduzmi x-koordinatu početka.

Δy = 3 − (2) = 1Isto uradi sa y-koordinatama.

→AB=(4, 1)Redoslijed A pa B određuje smjer; obrnuti vektor ima suprotne komponente.

Primjer 2

Odredi komponente vektora AB ako je A(−2, 4) i B(1, 1).

Δx = 1 − (−2) = 3Od x-koordinate kraja oduzmi x-koordinatu početka.

Δy = 1 − (4) = −3Isto uradi sa y-koordinatama.

→AB=(3, −3)Redoslijed A pa B određuje smjer; obrnuti vektor ima suprotne komponente.

Primjer 3

Odredi komponente vektora AB ako je A(3, −1) i B(3, 4).

Δx = 3 − (3) = 0Od x-koordinate kraja oduzmi x-koordinatu početka.

Δy = 4 − (−1) = 5Isto uradi sa y-koordinatama.

→AB=(0, 5)Redoslijed A pa B određuje smjer; obrnuti vektor ima suprotne komponente.

Sabiranje vektora

Primjer 1

Za u = (2, 1) i v = (3, 2) odredi u + v.

u + v=(2 + (3), 1 + (2))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u + v=(5, 3)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

Grafički: pravilo trouglaDrugi vektor prenesi tako da njegov početak bude u kraju prvog.

Primjer 2

Za u = (−1, 4) i v = (2, −3) odredi u + v.

u + v=(−1 + (2), 4 + (−3))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u + v=(1, 1)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

Grafički: pravilo trouglaDrugi vektor prenesi tako da njegov početak bude u kraju prvog.

Primjer 3

Za u = (3, −2) i v = (−3, 2) odredi u + v.

u + v=(3 + (−3), −2 + (2))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u + v=(0, 0)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

Grafički: pravilo trouglaDrugi vektor prenesi tako da njegov početak bude u kraju prvog.

Oduzimanje vektora

Primjer 1

Za u = (2, 1) i v = (3, 2) odredi u − v.

u − v=(2 − (3), 1 − (2))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u − v=(−1, −1)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

u − v=u + (−v)Za oduzimanje saberi prvi vektor sa suprotnim drugim vektorom.

Primjer 2

Za u = (−1, 4) i v = (2, −3) odredi u − v.

u − v=(−1 − (2), 4 − (−3))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u − v=(−3, 7)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

u − v=u + (−v)Za oduzimanje saberi prvi vektor sa suprotnim drugim vektorom.

Primjer 3

Za u = (3, −2) i v = (−3, 2) odredi u − v.

u − v=(3 − (−3), −2 − (2))Računaj sa odgovarajućim komponentama.

u − v=(6, −4)Primijeni pravila računanja sa cijelim brojevima.

u − v=u + (−v)Za oduzimanje saberi prvi vektor sa suprotnim drugim vektorom.

8. Provjeri znanje

1. Za nenulti vektor a, vektori a i −a imaju:

2. Kako dobiti a + b?

3. Šta čini −3a ako je a nenulti vektor?

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 33. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.