Pitagora: kvadrat i pravougaonik

🎯 Cilj lekcije

Objasniti zašto dijagonala dijeli kvadrat i pravougaonik na dva pravougla trougla.
Izračunati dijagonalu kvadrata formulom d = a√2 (npr. a = 5 → d = 5√2 ≈ 7,07).
Izračunati dijagonalu pravougaonika formulom d = √(a² + b²) (npr. 6 × 8 → 10).
Riješiti cijeli postupak korak po korak i provjeriti rezultat.

1. Dijagonala skriva pravougli trougao

Povuci dijagonalu kroz kvadrat ili pravougaonik — dobio/la si dva pravougla trougla! Stranice četverougla postaju katete, a dijagonala postaje hipotenuza. Zato Pitagorina teorema vrijedi i ovdje.

⬛ Gdje je trougao?

Pogledaj sliku: kvadrat 5 × 5 i pravougaonik 6 × 8. Crvena linija je dijagonala — hipotenuza skrivenog trougla.

2. Dijagonala kvadrata: d = a√2

Kvadrat ima sve stranice jednake (a). Kad povučeš dijagonalu d, dobiješ trougao s katetama a i a:

d² = a² + a² = 2a² → d = a√2

Primjer: stranica a = 5. Tada je d = 5√2. Pošto je √2 ≈ 1,414, decimalno je d ≈ 5 · 1,414 ≈ 7,07. Tačan oblik je 5√2, a približan je 7,07.

Primjer: Kvadrat stranice 4. Kolika je dijagonala?
d = 4√2 ≈ 4 · 1,414 ≈ 5,66. Provjera Pitagorom: 4² + 4² = 16 + 16 = 32, a (4√2)² = 16 · 2 = 32 ✓.

Primjer iz sobe: Tvoj tablet ima ekran oblika pravougaonika sa stranicama 9 cm i 12 cm. Prodavac kaže da je "dijagonala ekrana" zapravo mjera koju proizvođači uvijek navode. Koliko iznosi?
Dijagonala je hipotenuza trougla s katetama 9 cm i 12 cm: d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm. To je poznata trojka 9-12-15 — tačno kao za pravougaonik iz kviza!

3. Dijagonala pravougaonika: d = √(a² + b²)

Pravougaonik ima stranice a i b. Dijagonala d je hipotenuza trougla s tim katetama:

d = √(a² + b²)

Primjer: pravougaonik 6 × 8. Tada je d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Opet naša trojka 6-8-10!

4. Isprobaj dijagonalu uživo

Upiši stranice i gledaj dijagonalu. Za kvadrat mijenjaj a, za pravougaonik mijenjaj a i b.

📏 Dijagonala uživo

Kvadrat: d = a√2. Pravougaonik: d = √(a² + b²). Rezultat se računa dok tipkaš.

Kvadrat: stranica a Pravougaonik: a Pravougaonik: b

Kvadrat: d = 5√2 ≈ 7,07

Pravougaonik: d = √(6² + 8²) = 10

5. Oba primjera korak po korak

Rješavamo oba zadatka do kraja, korak po korak — prvo kvadrat, pa pravougaonik:

d²=5² + 5²Kvadrat stranice 5 ima dvije jednake katete.

d=√50 = 5√2 ≈ 7,07Izdvoji potpuni kvadrat 25; približnu vrijednost označi znakom ≈.

d²=6² + 8²Za pravougaonik stranica 6 i 8 koristi istu teoremu.

d=√100 = 10Kvadrati stranica daju 36 + 64 = 100.

5√2 > 5; 10 > 8 i 10 > 6 ✓Dijagonala oba lika duža je od svake stranice.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Dijagonala kvadrata — tri riješena primjera

Primjer 1: Dijagonala kvadrata

Kvadrat ima stranicu 2 cm. Odredi tačnu dužinu dijagonale.

a=2 cmObje katete imaju istu dužinu.

d²=a² + a² = 2a²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=2 · 4 = 8Zamijeni poznatu stranicu.

d=2√2 cmKorijen proizvoda zapiši bez zaokruživanja.

Primjer 2: Dijagonala kvadrata

Kvadrat ima stranicu 5 cm. Odredi tačnu dužinu dijagonale.

a=5 cmObje katete imaju istu dužinu.

d²=a² + a² = 2a²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=2 · 25 = 50Zamijeni poznatu stranicu.

d=5√2 cmKorijen proizvoda zapiši bez zaokruživanja.

Primjer 3: Dijagonala kvadrata

Kvadrat ima stranicu 7 cm. Odredi tačnu dužinu dijagonale.

a=7 cmObje katete imaju istu dužinu.

d²=a² + a² = 2a²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=2 · 49 = 98Zamijeni poznatu stranicu.

d=7√2 cmKorijen proizvoda zapiši bez zaokruživanja.

Dijagonala pravougaonika — tri riješena primjera

Primjer 1: Dijagonala pravougaonika

Stranice pravougaonika su 3 cm i 4 cm. Odredi dijagonalu.

a=3 cm, b = 4 cmDijagonala s dvije stranice zatvara pravougli trougao.

d²=a² + b²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=9 + 16 = 25Saberi kvadrate stranica.

d=5 cmKorjenuj pozitivnu vrijednost.

Primjer 2: Dijagonala pravougaonika

Stranice pravougaonika su 5 cm i 12 cm. Odredi dijagonalu.

a=5 cm, b = 12 cmDijagonala s dvije stranice zatvara pravougli trougao.

d²=a² + b²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=25 + 144 = 169Saberi kvadrate stranica.

d=13 cmKorjenuj pozitivnu vrijednost.

Primjer 3: Dijagonala pravougaonika

Stranice pravougaonika su 8 cm i 15 cm. Odredi dijagonalu.

a=8 cm, b = 15 cmDijagonala s dvije stranice zatvara pravougli trougao.

d²=a² + b²Primijeni Pitagorinu teoremu.

d²=64 + 225 = 289Saberi kvadrate stranica.

d=17 cmKorjenuj pozitivnu vrijednost.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Dijagonala kvadrata nije 2a! Za a = 5 dijagonala nije 10, nego 5√2 ≈ 7,07. Formula je a√2, ne 2a.
Ne množi √2 napamet pogrešno. √2 ≈ 1,414 (ne 2). Dakle 5√2 ≈ 7,07, a ne 10.
Kod pravougaonika ne sabiraj stranice. Dijagonala 6 × 8 nije 6 + 8 = 14, nego √(36 + 64) = 10.
Zadrži tačan i približan oblik. 5√2 je tačno, 7,07 je približno — u zadatku napiši oba kad se traži decimala.

7. Kviz

1. Kvadrat ima stranicu a = 4. Kolika je dijagonala d?

2. Kvadrat ima stranicu a = 5. Kolika je dijagonala približno?

3. Pravougaonik je 6 × 8. Kolika je dijagonala d?

4. Pravougaonik je 9 × 12. Kolika je dijagonala d?

8. Šta dalje?

Čestitamo — završio/la si oblast 8.1! Znaš trojke 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15 i 7-24-25, te dijagonale a√2 i √(a² + b²). Vrati se na pregled oblasti i ponovi kviz koji ti je bio najteži. Nastavi na linearne funkcije.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.