Koordinate, udaljenost, nula i znak funkcije

🎯 Cilj lekcije

Odredi udaljenost dvije tačke pomoću Pitagorine teoreme.
Pređi iz implicitnog u eksplicitni oblik kada je to moguće.
Odredi nulu, znak i tok linearne funkcije i nacrtaj grafik.

1. Prije početka

Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.

2. Razumij pojam

Uređeni par (x,y) određuje tačku. Prva koordinata je vodoravna, druga uspravna. Linearna funkcija y=kx+n opisuje pravu kada je k i n zadano.

3. Pravila i veze

Za A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) udaljenost je d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). Izvodimo je Pitagorinom teoremom. U implicitnom zapisu Ax+By=C, za B ≠ 0 dobijamo y=−(A/B)x+C/B. Ako B=0 i A≠0, prava je uspravna i nije grafik funkcije y od x. Nula zadovoljava y=0; za k≠0 je x=−n/k. Za k>0 funkcija raste, za k<0 opada; za k=0 je konstantna.

4. Istraži primjere

Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.

Slučaj:

k=1, n=1; nula je -1. Funkcija raste.

Kada je k = 0

Funkcija je konstantna: y = n. Ako n ≠ 0, nema nulu i njen znak je znak broja n. Ako n = 0, svaki realan broj je nula funkcije; grafik je cijela x-osa. Zato pri računanju x = −n/k prvo provjeri k ≠ 0.

5. Rješenje korak po korak

y=2x − 4; k = 2, n = −4Prepoznaj nagib i odsječak.

0=2x − 4 ⇒ x = 2Nula funkcije je 2; presjek s x-osom je (2,0).

x < 2 ⇒ y < 0; x > 2 ⇒ y > 0Funkcija raste jer je nagib pozitivan.

A(0,−4), B(2,0); 2=2·3−4 ✓Nacrtaj pravu kroz A i B. Tačka (3,2) služi za provjeru.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Koordinate i kvadrant — tri riješena primjera

Primjer 1: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(2, 3) i odredi kvadrant.

x=2Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=3Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=+, sgn(y) = +Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ I. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Primjer 2: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(-3, 2) i odredi kvadrant.

x=-3Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=2Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=−, sgn(y) = +Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ II. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Primjer 3: Koordinate i kvadrant

Ucrtaj tačku A(-2, -4) i odredi kvadrant.

x=-2Od početka idi vodoravno: desno za plus, lijevo za minus.

y=-4Od tog položaja idi uspravno: gore za plus, dolje za minus.

sgn(x)=−, sgn(y) = −Znakovi određuju kvadrant.

A ∈ III. kvadrantTačka nije na osi jer nijedna koordinata nije nula.

Rastojanje tačaka — tri riješena primjera

Primjer 1: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(2, 6).

Δx=2 − (−1) = 3Odredi horizontalnu razliku.

Δy=6 − 2 = 4Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(9+16) = √25 = 5Rastojanje je nenegativan broj.

Primjer 2: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(4, 14).

Δx=4 − (−1) = 5Odredi horizontalnu razliku.

Δy=14 − 2 = 12Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(25+144) = √169 = 13Rastojanje je nenegativan broj.

Primjer 3: Rastojanje tačaka

Odredi rastojanje A(−1, 2) i B(7, 17).

Δx=7 − (−1) = 8Odredi horizontalnu razliku.

Δy=17 − 2 = 15Odredi vertikalnu razliku.

d²=(Δx)² + (Δy)²Spojnica tačaka je hipotenuza.

d=√(64+225) = √289 = 17Rastojanje je nenegativan broj.

Nula i znak linearne funkcije — tri riješena primjera

Primjer 1: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = 2x + (-6).

2x + (-6)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

2x=6Isti broj oduzmi s obje strane.

x=3Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < 3 ⇒ y < 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > 3 ⇒ y > 0Desno od nule znak je suprotan.

Primjer 2: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = -3x + (6).

-3x + (6)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

-3x=-6Isti broj oduzmi s obje strane.

x=2Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < 2 ⇒ y > 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > 2 ⇒ y < 0Desno od nule znak je suprotan.

Primjer 3: Nula i znak linearne funkcije

Odredi nulu i znak funkcije y = 4x + (4).

4x + (4)=0Nula funkcije je argument za koji je y = 0.

4x=-4Isti broj oduzmi s obje strane.

x=-1Podijeli obje strane koeficijentom uz x.

x < -1 ⇒ y < 0Uoči znak nagiba i položaj lijevo od nule.

x > -1 ⇒ y > 0Desno od nule znak je suprotan.

6. Primijeni i provjeri

Primjer i zadatak: Tačke školskog dvorišta A(1,1) i B(4,5) udaljene su √(3²+4²)=5 jedinica. Na papiru prvo procijeni udaljenost, zatim izmjeri i uporedi s računom.

Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.

Samostalni zadaci s provjerom

Zadatak 1. Za A(−1,2), B(2,6) izračunaj udaljenost.

Provjeri rješenje i postupak

Razlike koordinata su 3 i 4; d=√(9+16)=5.

Zadatak 2. Preoblikuj 2x+y=6, pa odredi nulu, znak i tok.

Provjeri rješenje i postupak

y=−2x+6; nula 3; funkcija opada. Pozitivna je za x<3, negativna za x>3.

Zadatak 3. Za prevoz se plaća 2 KM početno i 1,5 KM po kilometru. Napiši funkciju i nađi put za račun 8 KM.

Provjeri rješenje i postupak

y=1,5x+2, x≥0. Iz 8=1,5x+2 slijedi x=4 km. Grafik počinje na(0,2).

7. Česte greške

⚠️ Česte greške

(2,3) i (3,2) obično su različite tačke.
Nula je x-vrijednost, a ne koeficijent n.
Znak funkcije zavisi od x; nagib opisuje rast ili opadanje.

8. Provjeri znanje

1. Udaljenost (0,0) i (3,4) je

2. Nula y=3x−6 je

3. y=−x+1 je pozitivna za

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.

Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 36. Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.