Grafičko rješavanje sistema

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuProširenje: u 8. razredu sistemima pristupaš metodom zamjene uz geometriju. Ovu metodu sistematski učiš u 9. razredu.

🎯 Cilj lekcije

Objasniti da je rješenje sistema tačka presjeka dvije prave.
Nacrtati obje prave i pročitati rješenje s grafika.
Prepoznati slučajeve: jedno rješenje, bez rješenja (paralelne prave) i beskonačno rješenja (ista prava).

1. Presjek dvije prave

Svaka jednačina sistema (ako je linearna) predstavlja pravu liniju na grafiku. Rješenje sistema je tačka u kojoj se te dvije prave sijeku — ta tačka (x, y) zadovoljava obje jednačine odjednom.

💡 Veza s prošlim lekcijamaIsti sistem koji rješavaš zamjenom ili suprotnim koeficijentima možeš i nacrtati — rješenje je isto, samo ga ovaj put "vidiš" na grafiku.

2. Glavni primjer: y = x + 1, y = −x + 5

Primjer: Riješi grafički sistem y = x + 1, y = −x + 5.
Tabela za y = x + 1: x = 0 → y = 1; x = 2 → y = 3.
Tabela za y = −x + 5: x = 0 → y = 5; x = 2 → y = 3.
Obje prave prolaze kroz tačku (2, 3) — to je rješenje sistema!
Provjera: y = x+1: 3 = 2+1 ✓. y = −x+5: 3 = −2+5 ✓

3. Tri moguća slučaja

Prave se sijeku u jednoj tački → sistem ima tačno jedno rješenje (najčešći slučaj, različiti nagibi k).
Prave su paralelne (isti k, različit n) → sistem nema rješenje — prave se nikad ne dodiruju.
Prave se poklapaju (isti k i isti n) → sistem ima beskonačno mnogo rješenja — svaka tačka prave je rješenje.

Primjer (bez rješenja): y = 2x + 1 i y = 2x − 3 imaju isti k = 2, a različit n — paralelne su, sistem nema rješenje.

Primjer iz života: Dva taksista nude cijenu vožnje. Prvi: y = 2x + 3 (3 KM start + 2 KM po kilometru). Drugi: y = x + 8 (8 KM start + 1 KM po kilometru). Za koju dužinu vožnje x je cijena ista?
Izjednačimo: 2x + 3 = x + 8 → x = 5. Uvrsti nazad: y = 2 · 5 + 3 = 13.
Provjera: y = x + 8: 5 + 8 = 13 ✓. Za vožnju od 5 km obojica naplate isto — 13 KM. To je tačka presjeka njihovih pravih na grafiku!

Primjer iz života — dva bazena: U bazen A upumpavaju vodu — on već ima 20 litara, a svake minute dolije 3 litre: y = 3x + 20. U bazen B upumpavaju vodu sporije, ali on je od starta punji — ima 50 litara, a svake minute dolije 1 litru: y = x + 50. Poslije koliko minuta x će u oba bazena biti ista količina vode?
Korak 1: Izjednači desne strane: 3x + 20 = x + 50.
Korak 2: Prebaci x na lijevu stranu: 3x − x + 20 = 50 → 2x + 20 = 50.
Korak 3: Prebaci 20 na desnu stranu: 2x = 50 − 20 = 30.
Korak 4: Podijeli sa 2: x = 15 minuta.
Korak 5: Uvrsti x = 15 u drugu jednačinu: y = 15 + 50 = 65 litara.
Provjera u prvoj: y = 3 · 15 + 20 = 45 + 20 = 65 ✓. Poslije 15 minuta oba bazena imaju po 65 litara — to je tačka presjeka dvije prave na grafiku!

4. Isprobaj grafički uživo

Promijeni k₁, n₁, k₂, n₂ i gledaj presjek (ili poruku ako su prave paralelne/iste).

📊 Dvije prave: y = k₁x + n₁ i y = k₂x + n₂

Plava je prva prava, narandžasta druga. Crvena tačka je rješenje sistema.

k₁ n₁ k₂ n₂

Isprobaj sva tri dugmeta redom: "Nasumičan sistem" obično da jedno rješenje (prave se sijeku), "Paralelne prave" pokaže slučaj bez rješenja, a "Iste prave" pokaže beskonačno mnogo rješenja — prava legne tačno preko druge.

5. Rješenje korak po korak

Riješimo grafički sistem y = x + 1, y = −x + 5, korak po korak.

p: (0,1), (2,3)Za pravu y = x + 1 napravi tabelu za x = 0 i x = 2.

q: (0,5), (2,3)Za pravu y = −x + 5 koristi iste argumente.

p kroz (0,1),(2,3); q kroz (0,5),(2,3)Ucrtaj tačke i povuci prave u istom koordinatnom sistemu.

S(2,3)Obje prave prolaze kroz očitani presjek.

3=2+1; 3 = −2+5 ✓Obje jednakosti potvrđuju rješenje x = 2, y = 3.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Presjek grafika — tri riješena primjera

Primjer 1: Presjek grafika

Grafički riješi y = x + (1) i y = −x + (5).

p: (0, 1), (1, 2)Ovim tačkama odredi prvu pravu.

q: (0, 5), (1, 4)Ovim tačkama odredi drugu pravu.

x + (1)=−x + (5)U presjeku su vrijednosti y jednake.

2x=4 ⇒ x = 2Računski potvrdi očitani presjek.

y=3 ⇒ S(2, 3)Provjeri obje koordinate presjeka.

Primjer 2: Presjek grafika

Grafički riješi y = x + (-2) i y = −x + (4).

p: (0, -2), (1, -1)Ovim tačkama odredi prvu pravu.

q: (0, 4), (1, 3)Ovim tačkama odredi drugu pravu.

x + (-2)=−x + (4)U presjeku su vrijednosti y jednake.

2x=6 ⇒ x = 3Računski potvrdi očitani presjek.

y=1 ⇒ S(3, 1)Provjeri obje koordinate presjeka.

Primjer 3: Presjek grafika

Grafički riješi y = x + (5) i y = −x + (3).

p: (0, 5), (1, 6)Ovim tačkama odredi prvu pravu.

q: (0, 3), (1, 2)Ovim tačkama odredi drugu pravu.

x + (5)=−x + (3)U presjeku su vrijednosti y jednake.

2x=-2 ⇒ x = -1Računski potvrdi očitani presjek.

y=4 ⇒ S(-1, 4)Provjeri obje koordinate presjeka.

Broj rješenja sistema — tri riješena primjera

Primjer 1: Broj rješenja sistema

Uporedi x + y = 2 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 4; 2x + 2y = 5; x − y = 0.

2(x+y)=4Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.

2x+2y=4 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.

4=5 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.

x=y, 2x = 2 ⇒ x = y = 1Treći slučaj daje tačno jedan presjek.

Primjer 2: Broj rješenja sistema

Uporedi x + y = 3 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 6; 2x + 2y = 7; x − y = 0.

2(x+y)=6Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.

2x+2y=6 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.

6=7 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.

x=y, 2x = 3 ⇒ x = y = 32Treći slučaj daje tačno jedan presjek.

Primjer 3: Broj rješenja sistema

Uporedi x + y = 4 sa svakom od jednačina: 2x + 2y = 8; 2x + 2y = 9; x − y = 0.

2(x+y)=8Udvajanje prve jednačine ne mijenja njena rješenja.

2x+2y=8 ⇒ beskonačno mnogo rješenjaPrve dvije jednačine predstavljaju istu pravu.

8=9 je netačno ⇒ nema rješenjaParalelne različite prave ne sijeku se.

x=y, 2x = 4 ⇒ x = y = 2Treći slučaj daje tačno jedan presjek.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Netačno crtanje prave. Koristi barem dvije tačno izračunate tačke — "na oko" crtanje dovodi do pogrešnog presjeka.
Čitanje pogrešnih koordinata. Prvo pročitaj x koordinatu (vodoravno), pa tek onda y (uspravno).
Zaboravljena provjera algebarski. Grafik daje približnu sliku — uvijek provjeri rješenje uvrštavanjem.
Pogrešno prepoznavanje paralelnih pravih. Isti k i različiti n daju paralelne različite prave. Ako su i k i n jednaki, prave se poklapaju.

7. Kviz

1. Sistem y = x + 1, y = −x + 5. Koja je tačka presjeka (rješenje)?

2. Prave y = 2x + 1 i y = 2x − 3 — koliko rješenja ima taj sistem?

3. Prave y = 3x + 2 i y = 3x + 2 (iste jednačine) — koliko rješenja ima sistem?

4. Kako prepoznati da su dvije prave paralelne, bez crtanja?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.