Primjena sličnosti

🎯 Cilj lekcije

Izračunati visinu nedostupnog objekta pomoću sličnih trouglova i sjenki.
Riješiti zadatak razmjere modela (model : stvarnost).
Pravilno postaviti proporciju i izbjeći obrnute razmjere.

1. Mjerenje visine preko sjenke

Za uspravne objekte na ravnom, vodoravnom tlu sunčevi zraci padaju pod istim uglom na sve objekte u isto vrijeme, pa štap i njegova sjenka grade trougao sličan trouglu kojeg grade visok objekat (npr. drvo) i njegova sjenka.

h_drvo / h_štap = sjenka_drvo / sjenka_štap

Primjer: Štap visok 1,5 m baca sjenku od 2 m. U isto vrijeme, drvo baca sjenku od 12 m. Kolika je visina drveta?
h / 1,5 = 12 / 2 → h = 1,5 · 12 / 2 = 1,5 · 6 = 9 m.

2. Isprobaj kalkulator uživo

Upiši visinu i sjenku štapa, i sjenku drveta — kalkulator računa visinu drveta po sličnosti trouglova.

📏 Kalkulator visine preko sjenke

Formula: h = h_štap · sjenka_drvo / sjenka_štap

Visina štapa (m) Sjenka štapa (m) Sjenka drveta (m)

h = 1,5 · 12 / 2 = 9 m

3. Rješenje korak po korak

Riješimo zajedno, korak po korak: štap 1,2 m baca sjenku 1,6 m, zgrada baca sjenku 20 m.

h1,2=201,6Visina zgrade prema visini štapa jednaka je odnosu njihovih sjenki.

h=1,2·201,6Iz proporcije izdvoji nepoznatu visinu.

h=241,6 = 15 mNajprije pomnoži, pa podijeli.

151,2=201,6 = 12,5 ✓Odnosi su jednaki. Zgrada je visoka 15 m.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Visina preko sjenke — tri riješena primjera

Primjer 1: Visina preko sjenke

Štap visok 2 m ima sjenku 1 m. U isto vrijeme stablo ima sjenku 2 m. Odredi visinu stabla.

hs=21Sunčeve zrake s tlom grade iste uglove.

h2=21Visine i sjenke poredaj istim redoslijedom.

h=2 · 2 = 4 mPomnoži odnos visine i sjenke novom sjenkom.

42=21 ✓Provjeri jednakost odnosa.

Primjer 2: Visina preko sjenke

Štap visok 2 m ima sjenku 1 m. U isto vrijeme stablo ima sjenku 3 m. Odredi visinu stabla.

hs=21Sunčeve zrake s tlom grade iste uglove.

h3=21Visine i sjenke poredaj istim redoslijedom.

h=2 · 3 = 6 mPomnoži odnos visine i sjenke novom sjenkom.

63=21 ✓Provjeri jednakost odnosa.

Primjer 3: Visina preko sjenke

Štap visok 2 m ima sjenku 1 m. U isto vrijeme stablo ima sjenku 4 m. Odredi visinu stabla.

hs=21Sunčeve zrake s tlom grade iste uglove.

h4=21Visine i sjenke poredaj istim redoslijedom.

h=2 · 4 = 8 mPomnoži odnos visine i sjenke novom sjenkom.

84=21 ✓Provjeri jednakost odnosa.

Razmjera modela — tri riješena primjera

Primjer 1: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 2 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=2 · 100 = 200 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=2 mPretvori centimetre u metre.

2 : 200=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

Primjer 2: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 3 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=3 · 100 = 300 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=3 mPretvori centimetre u metre.

3 : 300=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

Primjer 3: Razmjera modela

Na planu razmjere 1 : 100 dužina zida je 4 cm. Kolika je stvarna dužina?

1 cm ↔ 100 cmZnačenje razmjere: centimetar plana predstavlja 100 cm.

d=4 · 100 = 400 cmPomnoži dužinu na planu faktorom razmjere.

d=4 mPretvori centimetre u metre.

4 : 400=1 : 100 ✓Provjeri da su dužine prvo u istoj jedinici.

4. Razmjera modela

Modeli (aviona, auta, zgrada) su napravljeni u određenoj razmjeri prema stvarnom objektu, npr. 1 : 20 znači da je stvarni objekat 20 puta veći od modela.

Primjer: Model automobila je u razmjeri 1 : 20 i dug je 22 cm. Kolika je dužina pravog automobila?
Stvarna dužina = 22 · 20 = 440 cm = 4,4 m.

Primjer iz života: Tvoj zmaj na uzici i njegova sjenka grade trougao sličan trouglu koji grade štap i njegova sjenka. Štap visok 1 m baca sjenku 1,3 m. U istom trenutku, zmaj (koji "stoji" iznad tačke na zemlji) ima vodoravnu udaljenost od tačke tla tačno ispod zmaja do njegove sjenke od 19,5 m. Na kojoj je visini zmaj?
h / 1 = 19,5 / 1,3 → h = 1 · 19,5 / 1,3 = 15 m.
Provjera: 15 / 1 = 15 i 19,5 / 1,3 = 15 — isti odnos, pa je zmaj na visini od 15 metara.

5. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Obrnuta proporcija. Visina ide uz visinu, sjenka uz sjenku — ne miješaj ih unakrsno pogrešno.
Mjerenje sjenki u različito vrijeme. Sjenke moraju biti izmjerene u isto vrijeme da bi ugao sunca bio isti.
Zaboravljena pretvorba jedinica. Pazi na cm, m, km — budi dosljedan/na kroz cijeli zadatak.
Množenje umjesto dijeljenja kod modela. Od modela ka stvarnosti množiš razmjerom, od stvarnosti ka modelu dijeliš.

6. Kviz

1. Štap 1,5 m baca sjenku 2 m, drvo baca sjenku 12 m. Kolika je visina drveta?

2. Model automobila u razmjeri 1:20 dug je 22 cm. Kolika je stvarna dužina?

3. Zašto metoda sa sjenkama radi?

4. Štap 1,2 m baca sjenku 1,6 m, zgrada baca sjenku 20 m. Kolika je visina zgrade?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.

Prije početka

Na papiru zapiši poznate podatke i šta tražiš. Prisjeti se pravila navedenih u objašnjenju; ako ti neko nije jasno, prvo ga provjeri na jednostavnom primjeru.