Stavovi sličnosti trouglova

🎯 Cilj lekcije

Primijeniti stav SSS: sve tri stranice proporcionalne.
Primijeniti stav SUS: dvije stranice proporcionalne i ugao među njima jednak.
Primijeniti stav UU: dva para odgovarajućih uglova jednaki.

Da bismo dokazali da su dva trougla slična, ne moramo provjeravati baš sve uglove i sve stranice — dovoljno je provjeriti jedan od tri stava sličnosti.

1. Stav SSS (stranica-stranica-stranica)

Dva trougla su slična ako su im sve tri odgovarajuće stranice proporcionalne (isti koeficijent k za svaki par).

Primjer: Trougao sa stranicama 3, 4, 5 i trougao sa stranicama 9, 12, 15.
9/3 = 3, 12/4 = 3, 15/5 = 3 — svi odnosi jednaki 3 → trouglovi su slični po SSS, k = 3.

2. Stav SUS (stranica-ugao-stranica)

Dva trougla su slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a ugao između njih jednak.

Primjer: Trougao sa stranicama 4 i 6 i uglom 40° između njih, i trougao sa stranicama 8 i 12 i uglom 40° između njih.
8/4 = 2, 12/6 = 2 — stranice su proporcionalne, a ugao između njih je isti (40°) → slični po SUS, k = 2.

💡 Pazi na "između"Ugao mora biti baš onaj koji je zahvaćen tim dvjema stranicama — ne bilo koji ugao trougla.

3. Stav UU (ugao-ugao)

Dva trougla su slična ako imaju dva para jednakih odgovarajućih uglova (treći par je automatski jednak, jer je zbir uglova trougla uvijek 180°).

Primjer: Trougao s uglovima 50°, 60°, 70° i trougao s uglovima 50°, 60°, 70° — bez obzira na veličinu stranica, ovi trouglovi su slični po UU (čak i ako su potpuno različite veličine).

Primjer iz života: Dvije ljestve su naslonjene na zid pod istim uglom od 60° prema podu, ali jedna je kraća od druge. Prva ljestva i zid i tlo grade trougao s uglovima 60°, 90°, 30°. Druga ljestva (duža) i zid i tlo grade trougao s istim uglovima: 60°, 90°, 30°.
Pošto oba trougla imaju dva (zapravo sva tri) para jednakih uglova, slični su po stavu UU — bez obzira što je jedna ljestva duža. Zato duže ljestve, naslonjene pod istim uglom, dopiru više na zid.

4. Isprobaj provjeru SSS uživo

Upiši stranice dva trougla — alat provjerava da li su svi odnosi jednaki (SSS sličnost).

🔍 Provjera stava SSS

Upiši po tri stranice svakog trougla (od najmanje do najveće).

Trougao 1: a, b, c Trougao 2: a', b', c'

5. Rješenje korak po korak

Provjerimo, korak po korak, da li su trouglovi sa stranicama 5, 6, 8 i 10, 12, 16 slični.

5 ↔ 10; 6 ↔ 12; 8 ↔ 16Poredaj najmanju s najmanjom, srednju sa srednjom i najveću s najvećom.

105=2; 126 = 2; 168 = 2Izračunaj odnose u istom smjeru.

105=126 = 168Sva tri odnosa su jednaka.

k=2; △ABC ∼ △A′B′C′ po SSSTri proporcionalna para stranica dokazuju sličnost.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Stav SSS — tri riješena primjera

Primjer 1: Stav SSS

Provjeri sličnost trouglova stranica (3, 4, 5) i (6, 8, 10) cm.

63=2Poredi najkraće stranice.

84=2Poredi srednje stranice.

105=2Poredi najduže stranice.

k=2 ⇒ trouglovi su slični po SSSSva tri odnosa odgovarajućih stranica jednaka su.

Primjer 2: Stav SSS

Provjeri sličnost trouglova stranica (3, 4, 5) i (9, 12, 15) cm.

93=3Poredi najkraće stranice.

124=3Poredi srednje stranice.

155=3Poredi najduže stranice.

k=3 ⇒ trouglovi su slični po SSSSva tri odnosa odgovarajućih stranica jednaka su.

Primjer 3: Stav SSS

Provjeri sličnost trouglova stranica (3, 4, 5) i (12, 16, 20) cm.

123=4Poredi najkraće stranice.

164=4Poredi srednje stranice.

205=4Poredi najduže stranice.

k=4 ⇒ trouglovi su slični po SSSSva tri odnosa odgovarajućih stranica jednaka su.

Stav SUS — tri riješena primjera

Primjer 1: Stav SUS

Dvije stranice prvog trougla su 3 cm i 4 cm, a drugog 6 cm i 8 cm. Uglovi između tih stranica su 40°. Jesu li trouglovi slični?

63=2Izračunaj odnos prvog para stranica.

84=2Izračunaj odnos drugog para stranica.

α=α′ = 40°Provjeri upravo ugao između datih stranica.

△ABC ∼ △A′B′C′ po SUSDva odnosa su jednaka, a zahvaćeni uglovi podudarni.

Primjer 2: Stav SUS

Dvije stranice prvog trougla su 4 cm i 5 cm, a drugog 8 cm i 10 cm. Uglovi između tih stranica su 55°. Jesu li trouglovi slični?

84=2Izračunaj odnos prvog para stranica.

105=2Izračunaj odnos drugog para stranica.

α=α′ = 55°Provjeri upravo ugao između datih stranica.

△ABC ∼ △A′B′C′ po SUSDva odnosa su jednaka, a zahvaćeni uglovi podudarni.

Primjer 3: Stav SUS

Dvije stranice prvog trougla su 5 cm i 6 cm, a drugog 10 cm i 12 cm. Uglovi između tih stranica su 70°. Jesu li trouglovi slični?

105=2Izračunaj odnos prvog para stranica.

126=2Izračunaj odnos drugog para stranica.

α=α′ = 70°Provjeri upravo ugao između datih stranica.

△ABC ∼ △A′B′C′ po SUSDva odnosa su jednaka, a zahvaćeni uglovi podudarni.

Stav UU — tri riješena primjera

Primjer 1: Stav UU

Prvi trougao ima uglove 40° i 60°, a drugi 40° i 80°. Provjeri sličnost.

γ=180° − 40° − 60° = 80°Izračunaj treći ugao prvog trougla.

β′=180° − 40° − 80° = 60°Izračunaj preostali ugao drugog trougla.

α=α′ = 40°, β = β′ = 60°Poredi odgovarajuće uglove.

△ABC ∼ △A′B′C′ po UUDva para jednakih uglova dovoljna su za sličnost.

Primjer 2: Stav UU

Prvi trougao ima uglove 55° i 60°, a drugi 55° i 65°. Provjeri sličnost.

γ=180° − 55° − 60° = 65°Izračunaj treći ugao prvog trougla.

β′=180° − 55° − 65° = 60°Izračunaj preostali ugao drugog trougla.

α=α′ = 55°, β = β′ = 60°Poredi odgovarajuće uglove.

△ABC ∼ △A′B′C′ po UUDva para jednakih uglova dovoljna su za sličnost.

Primjer 3: Stav UU

Prvi trougao ima uglove 70° i 60°, a drugi 70° i 50°. Provjeri sličnost.

γ=180° − 70° − 60° = 50°Izračunaj treći ugao prvog trougla.

β′=180° − 70° − 50° = 60°Izračunaj preostali ugao drugog trougla.

α=α′ = 70°, β = β′ = 60°Poredi odgovarajuće uglove.

△ABC ∼ △A′B′C′ po UUDva para jednakih uglova dovoljna su za sličnost.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Provjera samo dva odnosa kod SSS. Moraš provjeriti sva tri para stranica, ne samo dva.
Pogrešan ugao kod SUS. Ugao mora biti baš taj koji je između te dvije stranice, ne bilo koji drugi ugao.
Nedovoljno uglova kod UU. Jedan jednak ugao nije dovoljan — treba barem dva para.
Pogrešno uparivanje stranica. Uvijek poredaj stranice od najmanje do najveće prije poređenja.

7. Kviz

1. Trouglovi 3-4-5 i 9-12-15 — jesu li slični po SSS?

2. Koji stav koristiš kad znaš dvije stranice i ugao između njih?

3. Trougao s uglovima 50°, 60°, 70° i trougao s uglovima 50°, 60°, 70° (različite veličine) — jesu li slični?

4. Zašto je kod UU dovoljno provjeriti samo DVA para uglova?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 35–39. Dodatne teme su posebno označene.