Početna / 9. razred / 9.1 Kvadratne jednačine / Diskriminanta

Diskriminanta i formula za rješenja

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.
🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: iz jednačine pročitati koeficijente a, b i c; izračunati diskriminantu D = b² − 4 ac; na osnovu predznaka D reći koliko rješenja ima; primijeniti formulu x = (−b ± √D) / 2a i rješenje provjeriti uvrštavanjem.

1. Šta je diskriminanta?

Kvadratna jednačina ima oblik ax² + bx + c = 0, uz a ≠ 0. Kad su a, b i c svi različiti od nule, kažemo da je jednačina potpuna. Trik iz prošle lekcije (rastavljanje) tu ne radi lako.

Zato postoji jedna formula koja rješava SVAKU kvadratnu jednačinu — bez pogađanja. Prvo računamo jedan poseban broj. Zove se diskriminanta i označava se slovom D. Taj broj ti unaprijed kaže koliko rješenja jednačina ima — i to prije nego što riješiš bilo šta drugo.

D = b² − 4 ac
x = (−b ± √D) / 2a

2. Tri slučaja: D > 0, D = 0, D < 0

Prije nego što kreneš računati rješenja, pogledaj predznak diskriminante:

  • D > 0 → dva različita realna rješenja (u formuli se koriste +√D i −√D; sam √D je nenegativan broj).
  • D = 0 → jedno (dvostruko) realno rješenje x = −b / 2a.
  • D < 0 → nema realnih rješenja (ne može se korjenovati negativan broj).

3. Primjer D > 0: x² − 5x + 6 = 0

Primjer: Riješi x² − 5x + 6 = 0.
1) Koeficijenti: a = 1, b = −5, c = 6.
2) D = b² − 4 ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
3) D > 0 pa ima dva rješenja: x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2.
4) x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Provjera za 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓ Provjera za 2: 4 − 10 + 6 = 0 ✓

4. Primjer D = 0: x² − 4x + 4 = 0

Primjer: Riješi x² − 4x + 4 = 0.
1) Koeficijenti: a = 1, b = −4, c = 4.
2) D = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
3) D = 0 pa je rješenje dvostruko: x = −b / 2a = 4 / 2 = 2.
Provjera: 4 − 8 + 4 = 0 ✓ (Zapazi: x² − 4x + 4 = (x − 2)² — potpuni kvadrat!)

5. Primjer D < 0: x² + x + 1 = 0

Primjer: Riješi x² + x + 1 = 0.
1) Koeficijenti: a = 1, b = 1, c = 1.
2) D = 1² − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = −3.
3) D < 0 pa jednačina nema realnih rješenja. Gotovo — ne ideš dalje, jer √(−3) ne postoji među realnim brojevima.
Primjer iz života — košarka 🏀: Tvoja ekipa je u sezoni postigla bodove tako da broj trojki x zadovoljava jednačinu x² − 2x − 15 = 0. Koliko je trojki ubačeno?
1) Koeficijenti: a = 1, b = −2, c = −15.
2) D = b² − 4 ac = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64.
3) D > 0 pa ima dva rješenja: x = (2 ± √64) / 2 = (2 ± 8) / 2.
4) x₁ = (2 + 8) / 2 = 5, x₂ = (2 − 8) / 2 = −3.
5) Broj trojki ne može biti negativan, pa odbacujemo x₂. Odgovor: ekipa je ubacila 5 trojki. 🏀
Provjera: 5² − 2 · 5 − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓

6. Isprobaj sam: računar diskriminante

🧮 Računar diskriminante i rješenja

Upiši koeficijente a, b i c (a ≠ 0) i pritisni „Izračunaj". Prikazaće se D, broj rješenja i sama rješenja.

Upiši brojeve i pritisni „Izračunaj".

👉 Sad isprobaj klizač: jednačina je x² − 5x + c = 0 (a = 1, b = −5 fiksno). Pomjeraj c i gledaj kako D mijenja predznak uživo.

7. Rješenje korak po korak: x² − 5x + 6 = 0

Riješimo zajedno primjer x² − 5x + 6 = 0 korak po korak. Otkrivaj jedan po jedan korak:

a=1, b = −5, c = 6Prepiši koeficijente jednačine x² − 5x + 6 = 0, uključujući znakove.
D=(−5)² − 4·1·6 = 1Najprije izračunaj kvadrat negativnog koeficijenta.
D=1 > 0Jednačina ima dva različita realna rješenja.
x=5 ± 12 ⇒ x₁ = 3, x₂ = 2Uvrsti diskriminantu u formulu; izračunaj oba izbora znaka.
9−15+6=0; 4−10+6 = 0 ✓Uvrštavanjem provjeri oba rješenja.
⚠️ Česte greške
  • Pogrešan predznak b: kod x² − 5x + 6 je b = −5, a ne 5! Onda je −b = +5. Uvijek prepiši koeficijente sa znacima.
  • Zaboravljene zagrade: (−5)² = 25, ali −5² = −25. Kvadriraj uvijek u zagradama.
  • Dijeljenje samo brojnika: formula dijeli CIJELI (−b ± √D) sa 2a — ne samo korijen. Zato ide zagrada: (5 ± 1) / 2.
  • Korjenovanje negativne D: ako je D < 0, stani — nema realnih rješenja, ne izmišljaj korijen.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Kolika je diskriminanta jednačine x² − 5x + 6 = 0?

2. Koja su rješenja jednačine x² − 5x + 6 = 0?

3. Koliko realnih rješenja ima jednačina x² − 4x + 4 = 0?

4. Šta vrijedi za jednačinu x² + x + 1 = 0?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Dva realna rješenja — tri riješena primjera

Primjer 1: Dva realna rješenja

Riješi x² + (-5)x + (6) = 0 formulom.

a=1, b = -5, c = 6Prepiši koeficijente s njihovim znakovima.
D=b² − 4ac = 25 − (24) = 1Izračunaj diskriminantu.
x=5 ± √12Primijeni formulu za rješenja.
x₁=2, x₂ = 3Izračunaj obje mogućnosti znaka ±.
x₁ + x₂=5; x₁x₂ = 6 ✓Provjeri zbir i proizvod rješenja.

Primjer 2: Dva realna rješenja

Riješi x² + (-3)x + (-4) = 0 formulom.

a=1, b = -3, c = -4Prepiši koeficijente s njihovim znakovima.
D=b² − 4ac = 9 − (-16) = 25Izračunaj diskriminantu.
x=3 ± √252Primijeni formulu za rješenja.
x₁=-1, x₂ = 4Izračunaj obje mogućnosti znaka ±.
x₁ + x₂=3; x₁x₂ = -4 ✓Provjeri zbir i proizvod rješenja.

Primjer 3: Dva realna rješenja

Riješi x² + (5)x + (6) = 0 formulom.

a=1, b = 5, c = 6Prepiši koeficijente s njihovim znakovima.
D=b² − 4ac = 25 − (24) = 1Izračunaj diskriminantu.
x=-5 ± √12Primijeni formulu za rješenja.
x₁=-3, x₂ = -2Izračunaj obje mogućnosti znaka ±.
x₁ + x₂=-5; x₁x₂ = 6 ✓Provjeri zbir i proizvod rješenja.

Diskriminanta jednaka nuli — tri riješena primjera

Primjer 1: Diskriminanta jednaka nuli

Riješi x² − 2x + 1 = 0.

D=(−2)² − 4·1·1Uvrsti koeficijente i zagradi negativni broj.
D=4 − 4 = 0Diskriminanta nula daje dvostruko rješenje.
x=22 = 1U formuli korijen diskriminante je nula.
(1 − 1)²=0 ✓Provjeri koristeći potpuni kvadrat.

Primjer 2: Diskriminanta jednaka nuli

Riješi x² − 4x + 4 = 0.

D=(−4)² − 4·1·4Uvrsti koeficijente i zagradi negativni broj.
D=16 − 16 = 0Diskriminanta nula daje dvostruko rješenje.
x=42 = 2U formuli korijen diskriminante je nula.
(2 − 2)²=0 ✓Provjeri koristeći potpuni kvadrat.

Primjer 3: Diskriminanta jednaka nuli

Riješi x² − 6x + 9 = 0.

D=(−6)² − 4·1·9Uvrsti koeficijente i zagradi negativni broj.
D=36 − 36 = 0Diskriminanta nula daje dvostruko rješenje.
x=62 = 3U formuli korijen diskriminante je nula.
(3 − 3)²=0 ✓Provjeri koristeći potpuni kvadrat.

Negativna diskriminanta — tri riješena primjera

Primjer 1: Negativna diskriminanta

Ima li x² + 1x + 1 = 0 realno rješenje?

a=1, b = 1, c = 1Odredi koeficijente.
D=1 − 4·1 = -3Izračunaj diskriminantu.
D < 0Korijen negativnog broja nije realan.
S=∅ u skupu ℝOva jednačina nema realnih rješenja.

Primjer 2: Negativna diskriminanta

Ima li x² + 2x + 4 = 0 realno rješenje?

a=1, b = 2, c = 4Odredi koeficijente.
D=4 − 4·4 = -12Izračunaj diskriminantu.
D < 0Korijen negativnog broja nije realan.
S=∅ u skupu ℝOva jednačina nema realnih rješenja.

Primjer 3: Negativna diskriminanta

Ima li x² + 3x + 9 = 0 realno rješenje?

a=1, b = 3, c = 9Odredi koeficijente.
D=9 − 4·9 = -27Izračunaj diskriminantu.
D < 0Korijen negativnog broja nije realan.
S=∅ u skupu ℝOva jednačina nema realnih rješenja.
← PrethodnaSljedeća →

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.