Valjak — površina i zapremina

🎯 Cilj lekcije

Prepoznati elemente valjka: radijus r, visina H.
Izračunati površinu valjka formulom P = 2πr² + 2πrH = 2πr(r + H).
Izračunati zapreminu valjka formulom V = πr²H.

1. Elementi valjka

Valjak nastaje obrtanjem pravougaonika oko jedne njegove stranice. Ima dvije podudarne kružne baze (radijusa r) i zakrivljeni omotač. Visina H je rastojanje između baza.

2. Površina valjka

Površina valjka sastoji se od dvije kružne baze (2πr²) i omotača koji je "razvijen" pravougaonik dimenzija 2πr (obim kruga) × H:

P = 2πr² + 2πrH = 2πr(r + H)

Primjer: Valjak r = 3 cm, H = 10 cm (koristimo π ≈ 3,14).
Baza: B = πr² = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Omotač: M = 2πrH = 2 · 3,14 · 3 · 10 = 188,4 cm².
Površina: P = 2B + M = 2 · 28,26 + 188,4 = 56,52 + 188,4 = 244,92 cm².

3. Zapremina valjka

Zapremina valjka jednaka je površini baze pomnoženoj visinom:

V = πr² · H

Primjer: Isti valjak, r = 3 cm, H = 10 cm.
V = πr² · H = 3,14 · 9 · 10 = 28,26 · 10 = 282,6 cm³.

Primjer iz života: Tata kupuje kanticu boje za farbanje sobe. Kantica je oblika valjka: poluprečnik dna r = 10 cm, visina H = 20 cm (π ≈ 3,14).
Površina baze: B = πr² = 3,14 · 100 = 314 cm².
Omotač: M = 2πrH = 2 · 3,14 · 10 · 20 = 1256 cm².
Površina lima za kanticu: P = 2B + M = 2 · 314 + 1256 = 628 + 1256 = 1884 cm².
Koliko boje stane u kanticu? V = B · H = 314 · 20 = 6280 cm³ (to je 6,28 litra boje!).

4. Isprobaj uživo

Promijeni r i H i gledaj kako se mijenja površina i zapremina valjka.

🥫 Kalkulator valjka

Koristimo π ≈ 3,14. Pomjeri klizače ili klikni dugme za nasumičan valjak — gledaj kako se oblik glatko mijenja.

r (cm) 3 H (cm) 10

P = 244,92 cm² • V = 282,6 cm³

5. Rješenje korak po korak

Izračunajmo površinu i zapreminu valjka r = 5 cm, H = 8 cm, korak po korak (π ≈ 3,14).

B=25π ≈ 78,5 cm²Baza ima poluprečnik 5 cm. Za približan račun uzmi π ≈ 3,14.

M=2π·5·8 = 80π ≈ 251,2 cm²Omotač računaš pomoću visine 8 cm.

P=2·25π + 80π = 130π ≈ 408,2 cm²Saberi dvije baze i omotač.

V=25π·8 = 200π ≈ 628 cm³Za zapreminu pomnoži bazu visinom. Približne vrijednosti koriste π ≈ 3,14.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Površina valjka — tri riješena primjera

Primjer 1: Površina valjka

Valjak ima poluprečnik 2 cm i visinu 3 cm. Odredi površinu.

B=r²π = 4π cm²Površina jedne kružne baze.

M=2rπH = 12π cm²Razvijeni omotač je pravougaonik.

P=2B + M = 8π + 12πDodaj dvije baze i omotač.

P=20π cm²Saberi koeficijente uz π.

Primjer 2: Površina valjka

Valjak ima poluprečnik 3 cm i visinu 5 cm. Odredi površinu.

B=r²π = 9π cm²Površina jedne kružne baze.

M=2rπH = 30π cm²Razvijeni omotač je pravougaonik.

P=2B + M = 18π + 30πDodaj dvije baze i omotač.

P=48π cm²Saberi koeficijente uz π.

Primjer 3: Površina valjka

Valjak ima poluprečnik 4 cm i visinu 6 cm. Odredi površinu.

B=r²π = 16π cm²Površina jedne kružne baze.

M=2rπH = 48π cm²Razvijeni omotač je pravougaonik.

P=2B + M = 32π + 48πDodaj dvije baze i omotač.

P=80π cm²Saberi koeficijente uz π.

Zapremina valjka — tri riješena primjera

Primjer 1: Zapremina valjka

Odredi zapreminu valjka poluprečnika 2 cm i visine 3 cm.

B=2²π = 4π cm²Odredi bazu.

V=B · HPrimijeni formulu za zapreminu.

V=4π · 3Sve dužine su u centimetrima.

V=12π cm³Zapreminu izrazi u kubnim jedinicama.

Primjer 2: Zapremina valjka

Odredi zapreminu valjka poluprečnika 3 cm i visine 5 cm.

B=3²π = 9π cm²Odredi bazu.

V=B · HPrimijeni formulu za zapreminu.

V=9π · 5Sve dužine su u centimetrima.

V=45π cm³Zapreminu izrazi u kubnim jedinicama.

Primjer 3: Zapremina valjka

Odredi zapreminu valjka poluprečnika 4 cm i visine 6 cm.

B=4²π = 16π cm²Odredi bazu.

V=B · HPrimijeni formulu za zapreminu.

V=16π · 6Sve dužine su u centimetrima.

V=96π cm³Zapreminu izrazi u kubnim jedinicama.

Mreža valjka — tri riješena primjera

Primjer 1: Mreža valjka

Odredi dimenzije omotača i broj dijelova mreže valjka poluprečnika 2 cm i visine 3 cm.

O=2rπ = 4π cmDužina omotača jednaka je obimu baze.

a=4π cm, b = 3 cmOmotač je pravougaonik tih dimenzija.

M=4π · 3 = 12π cm²Površinom pravougaonika provjeri dimenzije.

mreža: 2 kruga + 1 pravougaonikObje kružne baze imaju zadani poluprečnik.

Primjer 2: Mreža valjka

Odredi dimenzije omotača i broj dijelova mreže valjka poluprečnika 3 cm i visine 5 cm.

O=2rπ = 6π cmDužina omotača jednaka je obimu baze.

a=6π cm, b = 5 cmOmotač je pravougaonik tih dimenzija.

M=6π · 5 = 30π cm²Površinom pravougaonika provjeri dimenzije.

mreža: 2 kruga + 1 pravougaonikObje kružne baze imaju zadani poluprečnik.

Primjer 3: Mreža valjka

Odredi dimenzije omotača i broj dijelova mreže valjka poluprečnika 4 cm i visine 6 cm.

O=2rπ = 8π cmDužina omotača jednaka je obimu baze.

a=8π cm, b = 6 cmOmotač je pravougaonik tih dimenzija.

M=8π · 6 = 48π cm²Površinom pravougaonika provjeri dimenzije.

mreža: 2 kruga + 1 pravougaonikObje kružne baze imaju zadani poluprečnik.

Šta tačno pokrivamo materijalom?: korak po korak

Nacrtaj mrežu i precrtaj dijelove kojih nema. Za otvorenu posudu računaš jednu bazu i omotač, a za etiketu samo omotač. Zanemari debljinu materijala i otpad pri rezanju.

Primjer 1: Šta tačno pokrivamo materijalom?

Otvorena posuda ima r=3 cm i H=4 cm. Kolika je površina materijala?

B = π·3² = 9π cm²Posuda ima samo donju bazu.

M = 2π·3·4 = 24π cm²Omotač je pravougaonik širine 6π i visine 4.

P = B+M = 33π cm² ≈ 103,67 cm²Dodaj jednu bazu, ne dvije; za približan rezultat koristi π na kalkulatoru.

Primjer 2: Šta tačno pokrivamo materijalom?

Naljepnica obavija valjak r=4 cm i H=5 cm. Kolika je njena površina?

širina = 2πr = 8π cmŠirina naljepnice odgovara obimu baze.

visina = H = 5 cmNaljepnica ne pokriva baze.

P = 8π·5 = 40π cm² ≈ 125,66 cm²Ako je potrebno preklapanje za lijepljenje, dodaje se posebno.

Primjer 3: Šta tačno pokrivamo materijalom?

Zatvorena limenka ima prečnik 10 cm i visinu 8 cm. Odredi površinu lima.

r = 10 : 2 = 5 cmPrvo pretvori prečnik u poluprečnik.

2B = 2π·25 = 50π cm²Limenka ima dno i poklopac.

M = 2π·5·8 = 80π cm²Računaj omotač.

P = 50π+80π = 130π cm² ≈ 408,41 cm²Saberi površine svih dijelova mreže.

Samostalno: Otvorena posuda ima r=2 cm,H=6 cm. Odredi površinu materijala i zapreminu.

Provjeri postupak

P=π·2²+2π·2·6=28π cm². V=π·2²·6=24π cm³. Otvaranje poklopca mijenja površinu materijala, a ne unutrašnju zapreminu idealnog modela.

6. Česte greške ⚠️

⚠️ Česte greške

Zabuna poluprečnika i prečnika. U formulama je uvijek r (poluprečnik/radijus), a ne d (prečnik) — ako znaš prečnik, prvo podijeli sa 2.
Zaboravljeno 2 kod baza. Valjak ima DVIJE kružne baze: P = 2πr² + 2πrH.
Zaboravljen π. Svaka formula za krug/valjak sadrži π — ne izostavljaj ga iz računa.
Miješanje jedinica P i V. Površina je u cm² (kvadratne), zapremina u cm³ (kubne).

7. Kviz

1. Valjak r = 3 cm, H = 10 cm. Kolika je zapremina (π ≈ 3,14)?

2. Isti valjak r = 3 cm, H = 10 cm. Kolika je površina (π ≈ 3,14)?

3. Koliko kružnih baza ima valjak?

4. Valjak r = 2 cm, H = 5 cm. Kolika je zapremina (π ≈ 3,14)?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.

Mreža i papirni model valjka

Omotač razvijenog valjka je pravougaonik: jedna stranica je visina H, a druga obim baze 2πr. Uz njega dolaze dva jednaka kruga. Za r=2 cm i H=5 cm nacrtaj pravougaonik 4π×5 cm (približno 12,57×5 cm) i dvije kružne baze poluprečnika 2 cm. Dodaj mali jezičak za lijepljenje, koji ne uračunavamo u matematičku površinu.

Prikaz mreže:

Predvidi koje strane treba izostaviti ako posuda nema poklopac. Objasni zašto se dužina omotača poklapa s obimom kruga.

Samostalno: Skiciraj valjak r=3,H=4, označi osu, poluprečnik i visinu, zatim nacrtaj mrežu i napravi papirni model.

Provjera mjera i računa

Omotač 6π×4, dvije baze poluprečnika 3. Površina 2·9π+24π=42π cm²; zapremina 9π·4=36π cm³. Otvorenoj posudi izostavi jednu bazu:33π cm².