Pojam kvadratne funkcije i parabola

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuDodatno gradivo: ova tema proširuje osnovni program. Prvo završi polinome i faktorizaciju te linearnu algebru.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: prepoznati kvadratnu funkciju po njenom obliku y = ax² + bx + c; objasniti zašto se njen grafik zove parabola; odrediti da li parabola „gleda" gore ili dole na osnovu koeficijenta a; pronaći tačku u kojoj parabola siječe y-osu.

1. Šta je kvadratna funkcija?

Kvadratna funkcija je funkcija oblika:

y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Brojevi a, b i c su koeficijenti — obični brojevi koje ti zadaješ ili dobiješ u zadatku. Uslov a ≠ 0 je bitan: da je a = 0, član ax² bi nestao i ostala bi samo linearna funkcija y = bx + c, a to više nije kvadratna funkcija. Promjenljiva x može biti bilo koji realan broj, a za svaki x funkcija ti vraća tačno jedan y.

💡 PodsjetnikOvo ti je poznato iz 9.1! Isti koeficijenti a, b, c koje si koristio/la kod kvadratne jednačine ax² + bx + c = 0 sad su dio kvadratne funkcije y = ax² + bx + c. Jednačina pita „za koji x je y = 0?", a funkcija ti daje graf cijele priče.

2. Parabola — oblik grafika

Kad nacrtaš sve tačke (x, y) kvadratne funkcije, dobiješ glatku krivu liniju u obliku slova U (ili obrnutog U) — tu krivu zovemo parabola. Parabola je simetrična: ima osu simetrije koja je prava linija koja je dijeli na dvije identične polovine kao ogledalo.

Najjednostavnija parabola je grafik funkcije y = x² (a = 1, b = 0, c = 0): prolazi kroz tačku (0, 0) i otvara se nagore, simetrično oko y-ose.

3. Uloga koeficijenta a

Koeficijent a ti odmah kaže dvije stvari o obliku parabole:

Znak od a određuje da li je parabola otvorena nagore (a > 0, parabola ima najnižu tačku) ili nadole (a < 0, parabola ima najvišu tačku).
Veličina |a| određuje širinu: što je |a| veći, parabola je uža (strmija); što je |a| bliže nuli, parabola je šira (spljoštenija).

Koeficijent c ti odmah kaže gdje parabola siječe y-osu: ta tačka je (0, c), jer kad uvrstiš x = 0 u y = ax² + bx + c, dobiješ y = c.

4. Isprobaj sam: crtač parabole

📈 Crtač parabole — pomjeraj a, b i c

Promijeni koeficijente i gledaj kako parabola mijenja oblik, širinu i položaj.

a 1 b 0 c 0

y = x²

Klikni „Animiraj a" i gledaj kako parabola mijenja širinu i smjer dok se a mijenja od −2 do 2.

5. Presjek sa y-osom korak po korak

Riješimo primjer y = 2x² − 3x − 5. Tražimo tačku gdje ova parabola siječe y-osu.

a=2, b = −3, c = −5Prepoznaj koeficijente funkcije y = 2x² − 3x − 5.

x=0 ⇒ y = cTačka na y-osi ima prvu koordinatu nula.

y(0)=2·0² − 3·0 − 5 = −5Uvrsti nulu u funkciju.

A(0,−5)Zapiši presjek s y-osom.

a=2 > 0Parabola se otvara prema gore. Njeno tjeme daje najmanju vrijednost funkcije.

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Oblik i presjek parabole — tri riješena primjera

Primjer 1: Oblik i presjek parabole

Za y = 1x² + 2 odredi smjer otvaranja i presjek s y-osom.

a=1 > 0Znak vodećeg koeficijenta određuje otvaranje.

grane su okrenute prema gorePozitivni a daje minimum.

x=0 ⇒ y = 1·0² + 2 = 2Na y-osi prva koordinata je nula.

T(0, 2), presjek: (0, 2)U ovom obliku tjeme je ujedno presjek s y-osom.

Primjer 2: Oblik i presjek parabole

Za y = 2x² + 3 odredi smjer otvaranja i presjek s y-osom.

a=2 > 0Znak vodećeg koeficijenta određuje otvaranje.

grane su okrenute prema gorePozitivni a daje minimum.

x=0 ⇒ y = 2·0² + 3 = 3Na y-osi prva koordinata je nula.

T(0, 3), presjek: (0, 3)U ovom obliku tjeme je ujedno presjek s y-osom.

Primjer 3: Oblik i presjek parabole

Za y = 3x² + 4 odredi smjer otvaranja i presjek s y-osom.

a=3 > 0Znak vodećeg koeficijenta određuje otvaranje.

grane su okrenute prema gorePozitivni a daje minimum.

x=0 ⇒ y = 3·0² + 4 = 4Na y-osi prva koordinata je nula.

T(0, 4), presjek: (0, 4)U ovom obliku tjeme je ujedno presjek s y-osom.

Tačke za crtanje parabole — tri riješena primjera

Primjer 1: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 1x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=4, y(−1) = 1Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=1, y(2) = 4Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

Primjer 2: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 2x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=8, y(−1) = 2Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=2, y(2) = 8Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,8), (−1,2), (0,0), (1,2), (2,8)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

Primjer 3: Tačke za crtanje parabole

Izračunaj tačke grafika y = 3x² za x = −2, −1, 0, 1, 2.

y(−2)=12, y(−1) = 3Prvo kvadriraj negativne argumente.

y(0)=0Tjeme je u koordinatnom početku.

y(1)=3, y(2) = 12Pozitivni argumenti daju simetrične tačke.

(−2,12), (−1,3), (0,0), (1,3), (2,12)Ucrtaj tačke i poveži glatkom krivom, a ne lomljenom linijom.

6. Primjer

Primjer: Uporedi parabole y = x² i y = −0.5x² + 1.
Prva: a = 1 > 0 → otvorena nagore, c = 0 → siječe y-osu u (0, 0).
Druga: a = −0.5 < 0 → otvorena nadole, i pošto je |−0.5| < 1, ova parabola je šira od prve. c = 1 → siječe y-osu u (0, 1).

Primjer iz života: Dva igrača šutiraju loptu u mobilnoj fudbalskoj igrici. Putanja lopte prvog igrača je y = −0,2x² + 4, a drugog y = −0,5x² + 4 (x i y su u metrima).
Oba šuta polaze s iste visine, jer je kod oba c = 4 → presjek sa y-osom je (0, 4).
Oba su otvorena nadole (a < 0 kod oba), jer lopta nakon šuta pada nazad dole.
Pošto je |−0,5| > |−0,2|, putanja drugog igrača je uža i strmija. Za x ≥ 0 obje lopte se spuštaju jer su pri x = 0 na najvišoj tački. Prva dostiže tlo na udaljenosti √20 ≈ 4,47 m, a druga na √8 ≈ 2,83 m. Iz grafika visine prema udaljenosti ne možemo zaključiti vrijeme leta.

⚠️ Česte greške

Mislim da parabola mora prolaziti kroz (0,0): to je tačno samo kad je c = 0. Inače parabola siječe y-osu u (0, c).
Zaboravljen znak minus kod a: a = −3 znači parabola otvorena nadole, a ne nagore!
Brkanje "širine" i "otvorenosti": znak od a kaže gore/dole, a veličina |a| kaže usko/široko — to su dvije različite stvari.
Zaboravljen uslov a ≠ 0: ako je a = 0, to više nije kvadratna funkcija nego linearna.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Grafik kvadratne funkcije y = ax² + bx + c zove se:

2. Funkcija y = −3x² + 2x − 1 otvorena je:

3. Gdje parabola y = 4x² − 2x + 7 siječe y-osu?

4. Koja parabola je uža (strmija): y = 3x² ili y = 0.2x²?

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.