Jednačina prave

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: napisati jednačinu prave u obliku y = kx + n; izračunati koeficijent pravca k iz dvije tačke; izračunati odsječak n; sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz dvije zadate tačke.

1. Oblik jednačine prave

Prava linija u koordinatnom sistemu opisuje se jednačinom:

y = kx + n

Broj k zove se koeficijent pravca (nagib) — govori koliko se prava „penje" ili „spušta". Broj n je odsječak na y-osi — y-koordinata tačke gdje prava siječe y-osu, tj. tačka (0, n).

2. Koeficijent pravca k

Ako znaš dvije tačke A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂) na pravoj, koeficijent pravca računaš ovako:

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Ova formula zahtijeva x₂ ≠ x₁. Ako dvije različite tačke imaju istu x-koordinatu, prava je uspravna: x = x₁. Njen nagib nije definisan i ne može se zapisati kao y = kx + n.

Kad znaš k, odsječak n nalaziš tako što uvrstiš koordinate jedne poznate tačke u y = kx + n i izračunaš n.

💡 Čitanje koeficijenta kAko je k > 0, prava raste (ide gore udesno). Ako je k < 0, prava opada. Što je |k| veći, prava je strmija.

3. Glavni primjer: kroz (1,3) i (3,7)

Primjer: Odredi jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 3) i B(3, 7).
k = (7 − 3) / (3 − 1) = 4/2 = 2.
Uvrsti A(1, 3) u y = kx + n: 3 = 2·1 + n ⇒ n = 3 − 2 = 1.
Jednačina prave: y = 2x + 1.
Provjera tačkom B: y = 2·3 + 1 = 7 ✓ Odgovara!

Primjer iz života: Za 2 GB mobilnog interneta plaćaš 3 KM, a za 5 GB plaćaš 9 KM. Cijena zavisi od broja GB po pravilu prave linije — koliko bi koštalo 10 GB?
Tačke: A(2, 3) i B(5, 9), gdje je x = broj GB, y = cijena u KM.
k = (9 − 3) / (5 − 2) = 6/3 = 2.
Uvrsti A(2, 3): 3 = 2·2 + n ⇒ n = 3 − 4 = −1.
Jednačina: y = 2x − 1. Provjera sa B: y = 2·5 − 1 = 9 ✓
Za 10 GB: y = 2·10 − 1 = 19 KM. 📱

4. Isprobaj sam: pravac kroz dvije tačke

📈 Pravac kroz dvije tačke

Upiši dvije tačke (ili klikni dugme) i gledaj kako se prava glatko mijenja na grafiku.

A x A y B x B y

Upiši koordinate i pritisni „Izračunaj jednačinu".

5. Rješenje korak po korak: kroz (−1, 4) i (2, −2)

A(−1,4), B(2,−2)Prepiši koordinate dviju tačaka.

k=−2−42−(−1) = −63 = −2U oba oduzimanja sačuvaj isti redoslijed tačaka.

4=−2·(−1) + n = 2 + nUvrsti tačku A u y = kx + n.

n=4 − 2 = 2Izračunaj odsječak na y-osi.

y=−2x + 2; y(2) = −2 ✓Provjeri tačkom B: −2·2 + 2 = −2.

⚠️ Česte greške

Zamijenjen redoslijed u razlomku za k: i u brojniku i u imeniocu mora biti isti redoslijed tačaka (y₂−y₁ i x₂−x₁, ne obrnuto).
Zaboravljen drugi korak (traženje n): k ti daje samo nagib — n moraš posebno izračunati uvrštavanjem tačke.
Nema provjere drugom tačkom: uvijek provjeri gotovu jednačinu sa onom tačkom koju nisi koristio/la za n.
Dijeljenje nulom: ako je x₂ = x₁ (vertikalna prava), k se ne može izračunati ovom formulom — to je poseban slučaj.

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. U jednačini y = kx + n, šta predstavlja n?

2. Koeficijent pravca prave kroz A(1, 3) i B(3, 7) je:

3. Jednačina prave kroz A(1, 3) i B(3, 7) glasi:

4. Prava ima k = −3. Šta to znači za njen izgled?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Nagib iz dvije tačke — tri riješena primjera

Primjer 1: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, 1) i B(2, 5).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.

Δy=5 − (1) = 4Izračunaj promjenu druge koordinate.

k=Δy : Δx = 4 : 2 = 2Sačuvaj isti redoslijed tačaka.

n=1Tačka A leži na y-osi.

y=2x + (1)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Primjer 2: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, 3) i B(2, 1).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.

Δy=1 − (3) = -2Izračunaj promjenu druge koordinate.

k=Δy : Δx = -2 : 2 = -1Sačuvaj isti redoslijed tačaka.

n=3Tačka A leži na y-osi.

y=-1x + (3)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Primjer 3: Nagib iz dvije tačke

Odredi nagib i jednačinu prave kroz A(0, -2) i B(2, 4).

Δx=2 − 0 = 2Izračunaj promjenu prve koordinate.

Δy=4 − (-2) = 6Izračunaj promjenu druge koordinate.

k=Δy : Δx = 6 : 2 = 3Sačuvaj isti redoslijed tačaka.

n=-2Tačka A leži na y-osi.

y=3x + (-2)Uvrsti nagib i odsječak u oblik y = kx + n.

Crtanje prave — tri riješena primjera

Primjer 1: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = 2x + (1).

x=0 ⇒ y = 1Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 3Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, 1), B(1, 3)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 5Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Primjer 2: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = -1x + (3).

x=0 ⇒ y = 3Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 2Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, 3), B(1, 2)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 1Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Primjer 3: Crtanje prave

Nacrtaj grafik y = 3x + (-2).

x=0 ⇒ y = -2Odredi tačku na y-osi.

x=1 ⇒ y = 1Za drugu tačku pomjeri se jednu jedinicu udesno.

A(0, -2), B(1, 1)Ucrtaj tačke prema njihovim koordinatama.

grafik=prava ABLenjirom spoji tačke i produži pravu u oba smjera.

x=2 ⇒ y = 4Trećom tačkom provjeri položaj prave.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.