Slučajni događaj i vjerovatnoća

Pokreni prezentaciju →

Mjesto u programuPonavljanje i proširenje ranije uvedenih tema. U 8. razredu obrađuješ koordinate i funkcije te osnove podataka i vjerovatnoće.

🎯 Cilj lekcijeNakon ove lekcije ti ćeš moći: objasniti šta je slučajan događaj i skup mogućih ishoda; prepoznati povoljne ishode za dati događaj; izračunati vjerovatnoću formulom P(A) = broj povoljnih / broj mogućih ishoda; protumačiti vjerovatnoću 0 i vjerovatnoću 1.

1. Šta je slučajan događaj?

Slučajan događaj je događaj čiji ishod ne možeš unaprijed sa sigurnošću predvidjeti — npr. koji će broj pasti kad baciš kocku, ili hoće li novčić pasti na pismo ili glavu. Skup svih mogućih ishoda jednog pokusa zove se skup mogućih ishoda.

Za bacanje kocke, skup mogućih ishoda je {1, 2, 3, 4, 5, 6} — ukupno 6 jednako mogućih ishoda. Za bacanje novčića, skup mogućih ishoda je {pismo, glava} — ukupno 2 ishoda.

2. Formula klasične vjerovatnoće

Vjerovatnoću događaja A računamo formulom:

P(A) = broj povoljnih ishoda / broj mogućih ishoda

Ova formula važi kad su svi ishodi jednako mogući (npr. poštena kocka, pošten novčić). Vjerovatnoća je uvijek broj između 0 i 1: P = 0 znači da je događaj nemoguć, P = 1 znači da je događaj siguran.

💡 Vjerovatnoća kao razlomak, decimalni broj ili procenatVjerovatnoću možeš zapisati kao razlomak (1/2), decimalni broj (0,5) ili procenat (50%) — sve su to isti zapis iste šanse.

3. Glavni primjer: bacanje kocke

Primjer: Baci se jedna poštena kockica. Kolika je vjerovatnoća da padne paran broj?
Mogući ishodi: {1, 2, 3, 4, 5, 6} — ukupno 6.
Povoljni ishodi (parni brojevi): {2, 4, 6} — ukupno 3.
P(paran broj) = 3/6 = 1/2 (ili 0,5, ili 50%).

Primjer s mobitelom: Na početnom ekranu mobitela imaš 20 ikonica aplikacija, od toga 4 su igre. Zamisli da aplikacija bira jednu od 20 ikonica tako da svaka ima jednaku šansu. Sam dodir zatvorenih očiju ne garantuje jednak izbor. Kolika je vjerovatnoća da si dodirnuo/la baš igru?
Skup mogućih ishoda: svih 20 ikonica — ukupno 20 mogućih ishoda.
Povoljni ishodi (igre): 4 ikonice.
P(igra) = 4/20 = 1/5 (ili 0,2, ili 20%).
Vjerovatnoća da NIJE igra: 1 − 1/5 = 4/5 (80%) — mnogo je vjerovatnije da dotakneš neku drugu aplikaciju.

4. Isprobaj sam: baci kocku

🎲 Simulacija bacanja kocke

Prvo izaberi koji događaj posmatraš i koliko puta želiš baciti kocku odjednom, pa klikni „Baci kocku" — kockica se par trenutaka „okreće" prije nego padne na broj, baš kao prava kocka.

Posmatram Broj bacanja po kliku: 10

Pritisni „Baci kocku” da počneš.

5. Rješenje korak po korak

U kutiji se nalaze kuglice numerisane od 1 do 10. Kolika je vjerovatnoća da izvučena kuglica ima broj djeljiv sa 3?

Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; N = 10Nasumično biraš jedan od deset jednako vjerovatnih brojeva.

A={3,6,9}; m = 3Povoljni su brojevi djeljivi sa 3.

P(A)=mN = 310Primijeni klasičnu formulu.

P(A)=0,3 = 30%Isti rezultat možeš zapisati decimalno i procentom.

0 ≤ 0,3 ≤ 1 ✓Provjeri dopušteni raspon vjerovatnoće.

⚠️ Česte greške

Zamijenjen brojnik i imenilac: uvijek je povoljni/mogući, ne mogući/povoljni.
Pogrešno prebrojani mogući ishodi: pažljivo prebroj SVE moguće ishode, ne samo one koje prvo primijetiš.
Vjerovatnoća veća od 1 ili manja od 0: ako ti rezultat ispadne izvan [0, 1], negdje si pogriješio/la u brojanju.
Mišljenje da slučajnost "duguje" ishod: ako je pet puta zaredom palo pismo, šesto bacanje i dalje ima vjerovatnoću 1/2 za glavu — nezavisna bacanja pravilnog novčića imaju iste vjerovatnoće!

✅ Kviz — provjeri sebe (4 pitanja)

1. Baca se poštena kockica. Koliki je broj mogućih ishoda?

2. Kolika je vjerovatnoća da na kockici padne broj veći od 4?

3. Šta znači P(A) = 0?

4. U kutiji su kuglice brojevima 1–10. Kolika je vjerovatnoća da izvučena kuglica ima broj djeljiv sa 3?

Riješeni primjeri

Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.

Jednako vjerovatni ishodi — tri riješena primjera

Primjer 1: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 2 crvenih i 3 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=2 + 3 = 5Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=2Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 25 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 2: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 3 crvenih i 5 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=3 + 5 = 8Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=3Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 38 = 38Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Primjer 3: Jednako vjerovatni ishodi

U vreći je 4 crvenih i 6 plavih kuglica iste veličine. Izvlačiš jednu nasumično. Odredi vjerovatnoću crvene.

N=4 + 6 = 10Sve pojedinačne kuglice imaju istu šansu izvlačenja.

m=4Povoljni ishodi su crvene kuglice.

P(C)=mN = 410 = 25Podijeli broj povoljnih ukupnim brojem ishoda.

0 ≤ P(C) ≤ 1 ✓Provjeri da je rezultat dopuštena vjerovatnoća.

Suprotni događaj — tri riješena primjera

Primjer 1: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 25. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=25Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=55 − 25 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

25 + 35=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 2: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 38. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=38Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=88 − 38 = 58Oduzmi razlomke istog imenioca.

38 + 58=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Primjer 3: Suprotni događaj

Vjerovatnoća crvene kuglice je 410. Odredi vjerovatnoću da kuglica nije crvena.

P(C)=410Prepiši zadanu vjerovatnoću.

P(ne C)=1 − P(C)Događaj i njegov suprotni obuhvataju sve ishode.

P(ne C)=1010 − 410 = 35Oduzmi razlomke istog imenioca.

410 + 610=1 ✓Provjeri da je zbir vjerovatnoća jedan.

Zahtjevi i raspored: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označene str. 40–43. Dodatne teme su posebno označene.