Kvadrati, kubovi i rastavljanje na faktore
Pokreni prezentaciju →
🎯 Cilj lekcije Primijeni kvadrat i kub zbira ili razlike. Rastavi razliku kvadrata te zbir i razliku kubova. Provjeri faktorizaciju množenjem zagrada. 1. Prije početka Pripremi papir i olovku. Tokom čitanja zapiši šta je poznato, šta tražiš i koji uslovi vrijede. Prvo pokušaj predvidjeti odgovor, zatim ga uporedi s računom.
2. Razumij pojam Identitet je jednakost koja vrijedi za sve dozvoljene vrijednosti promjenljivih. Rastaviti izraz na faktore znači zapisati ga kao proizvod. Tako prepoznajemo strukturu i skraćujemo račun.
3. Pravila i veze (a+b)²=a²+2 ab+b²; (a−b)²=a²−2 ab+b²; a²−b²=(a−b)(a+b). Kubovi: (a+b)³=a³+3a²b+3 ab²+b³; (a−b)³=a³−3a²b+3 ab²−b³. Zbir kubova a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²), razlika a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²). Svaku formulu možeš provjeriti množenjem zagrada.
4. Istraži primjere Izaberi slučaj. Predvidi rezultat prije promjene, zatim objasni šta se na prikazu promijenilo.
Slučaj: x=2 x=3 x=4 x² 2x 2x 4
Površina(x+2)²=x²+4x+4=16. Četiri dijela imaju površine 4, 4, 4 i 4.
5. Rješenje korak po korak
x³−8 = x³−2³ Prepoznaj razliku kubova.
x³−8 = (x−2)(x²+2x+4) Primijeni identitet za razliku kubova.
x³+2x²+4x−2x²−4x−8 = x³−8 ✓ Množenjem provjeri dobijene faktore.
3x²−12 = 3(x²−4) = 3(x−2)(x+2) U drugom primjeru prvo izdvoji zajednički faktor, pa primijeni razliku kvadrata.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Riješeni primjeri Vježbaj uz riješene primjere. Za svaki tip zadatka slijede tri primjera. Pokušaj sam zapisati sljedeći red, pa otkrij postupak korak po korak.
Kvadrat binoma — tri riješena primjera
Primjer 1: Kvadrat binoma Razvij (x + 2)².
(x + 2)² = (x + 2)(x + 2) Kvadrat zagrade je proizvod dvije jednake zagrade.
= x² + 2x + 2x + 4 Pomnoži svaki član sa svakim.
= x² + 4x + 4 Srednji član je dvostruki proizvod.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Kvadrat binoma Razvij (x + 3)².
(x + 3)² = (x + 3)(x + 3) Kvadrat zagrade je proizvod dvije jednake zagrade.
= x² + 3x + 3x + 9 Pomnoži svaki član sa svakim.
= x² + 6x + 9 Srednji član je dvostruki proizvod.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Kvadrat binoma Razvij (x + 4)².
(x + 4)² = (x + 4)(x + 4) Kvadrat zagrade je proizvod dvije jednake zagrade.
= x² + 4x + 4x + 16 Pomnoži svaki član sa svakim.
= x² + 8x + 16 Srednji član je dvostruki proizvod.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Razlika kvadrata — tri riješena primjera
Primjer 1: Razlika kvadrata Rastavi x² − 4 na faktore.
x² − 4 = x² − 2² Prepoznaj dva kvadrata.
x² − 2² = (x − 2)(x + 2) Primijeni identitet za razliku kvadrata.
(x − 2)(x + 2) = x² + 2x − 2x − 4 Provjeri množenjem.
= x² − 4 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Razlika kvadrata Rastavi x² − 9 na faktore.
x² − 9 = x² − 3² Prepoznaj dva kvadrata.
x² − 3² = (x − 3)(x + 3) Primijeni identitet za razliku kvadrata.
(x − 3)(x + 3) = x² + 3x − 3x − 9 Provjeri množenjem.
= x² − 9 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Razlika kvadrata Rastavi x² − 16 na faktore.
x² − 16 = x² − 4² Prepoznaj dva kvadrata.
x² − 4² = (x − 4)(x + 4) Primijeni identitet za razliku kvadrata.
(x − 4)(x + 4) = x² + 4x − 4x − 16 Provjeri množenjem.
= x² − 16 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Izdvajanje zajedničkog faktora — tri riješena primjera
Primjer 1: Izdvajanje zajedničkog faktora Rastavi 2x² + 6x na faktore.
2x² + 6x = 2x·x + 2x·3 Oba člana sadrže isti faktor.
= 2x(x + 3) Izdvoji zajednički faktor ispred zagrade.
2x(x + 3) = 2x² + 6x ✓ Provjeri distributivnim zakonom.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Izdvajanje zajedničkog faktora Rastavi 3x² + 12x na faktore.
3x² + 12x = 3x·x + 3x·4 Oba člana sadrže isti faktor.
= 3x(x + 4) Izdvoji zajednički faktor ispred zagrade.
3x(x + 4) = 3x² + 12x ✓ Provjeri distributivnim zakonom.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Izdvajanje zajedničkog faktora Rastavi 4x² + 20x na faktore.
4x² + 20x = 4x·x + 4x·5 Oba člana sadrže isti faktor.
= 4x(x + 5) Izdvoji zajednički faktor ispred zagrade.
4x(x + 5) = 4x² + 20x ✓ Provjeri distributivnim zakonom.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Razlika kubova — tri riješena primjera
Primjer 1: Razlika kubova Rastavi x³ − 8 na faktore.
x³ − 8 = x³ − 2³ Prepoznaj kubove.
= (x − 2)(x² + 2x + 4) Koristi a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²).
= x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8 Provjeri množenjem faktora.
= x³ − 8 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Razlika kubova Rastavi x³ − 27 na faktore.
x³ − 27 = x³ − 3³ Prepoznaj kubove.
= (x − 3)(x² + 3x + 9) Koristi a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²).
= x³ + 3x² + 9x − 3x² − 9x − 27 Provjeri množenjem faktora.
= x³ − 27 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Razlika kubova Rastavi x³ − 64 na faktore.
x³ − 64 = x³ − 4³ Prepoznaj kubove.
= (x − 4)(x² + 4x + 16) Koristi a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²).
= x³ + 4x² + 16x − 4x² − 16x − 64 Provjeri množenjem faktora.
= x³ − 64 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Kvadrat razlike — tri riješena primjera
Primjer 1: Kvadrat razlike Razvij (x − 2)².
(x − 2)² = (x − 2)(x − 2) Zapiši kvadrat kao proizvod.
= x² − 2x − 2x + 4 Množi svaki član sa svakim.
= x² − 4x + 4 Srednji član je negativan, a posljednji pozitivan.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Kvadrat razlike Razvij (x − 3)².
(x − 3)² = (x − 3)(x − 3) Zapiši kvadrat kao proizvod.
= x² − 3x − 3x + 9 Množi svaki član sa svakim.
= x² − 6x + 9 Srednji član je negativan, a posljednji pozitivan.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Kvadrat razlike Razvij (x − 4)².
(x − 4)² = (x − 4)(x − 4) Zapiši kvadrat kao proizvod.
= x² − 4x − 4x + 16 Množi svaki član sa svakim.
= x² − 8x + 16 Srednji član je negativan, a posljednji pozitivan.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Kub zbira — tri riješena primjera
Primjer 1: Kub zbira Razvij (x + 2)³.
(x+2)³ = x³ + 3x²·2 + 3x·2² + 2³ Primijeni formulu za kub zbira.
= x³ + 6x² + 3·4x + 8 Kvadriraj i kubiraj poznati broj.
= x³ + 6x² + 12x + 8 Izračunaj koeficijente. Sva četiri znaka su plus.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Kub zbira Razvij (x + 3)³.
(x+3)³ = x³ + 3x²·3 + 3x·3² + 3³ Primijeni formulu za kub zbira.
= x³ + 9x² + 3·9x + 27 Kvadriraj i kubiraj poznati broj.
= x³ + 9x² + 27x + 27 Izračunaj koeficijente. Sva četiri znaka su plus.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Kub zbira Razvij (x + 4)³.
(x+4)³ = x³ + 3x²·4 + 3x·4² + 4³ Primijeni formulu za kub zbira.
= x³ + 12x² + 3·16x + 64 Kvadriraj i kubiraj poznati broj.
= x³ + 12x² + 48x + 64 Izračunaj koeficijente. Sva četiri znaka su plus.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Kub razlike — tri riješena primjera
Primjer 1: Kub razlike Razvij (x − 2)³.
(x−2)³ = x³ − 3x²·2 + 3x·2² − 2³ Kod kuba razlike znakovi se smjenjuju.
= x³ − 6x² + 3·4x − 8 Izračunaj stepene poznatog broja.
= x³ − 6x² + 12x − 8 Sredi sve koeficijente.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Kub razlike Razvij (x − 3)³.
(x−3)³ = x³ − 3x²·3 + 3x·3² − 3³ Kod kuba razlike znakovi se smjenjuju.
= x³ − 9x² + 3·9x − 27 Izračunaj stepene poznatog broja.
= x³ − 9x² + 27x − 27 Sredi sve koeficijente.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Kub razlike Razvij (x − 4)³.
(x−4)³ = x³ − 3x²·4 + 3x·4² − 4³ Kod kuba razlike znakovi se smjenjuju.
= x³ − 12x² + 3·16x − 64 Izračunaj stepene poznatog broja.
= x³ − 12x² + 48x − 64 Sredi sve koeficijente.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Zbir kubova — tri riješena primjera
Primjer 1: Zbir kubova Rastavi x³ + 8 na faktore.
x³ + 8 = x³ + 2³ Prepoznaj zbir dva kuba.
= (x+2)(x²−2x+4) Primijeni identitet za zbir kubova.
= x³−2x²+4x+2x²−4x+8 Provjeri distributivnim množenjem.
= x³+8 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 2: Zbir kubova Rastavi x³ + 27 na faktore.
x³ + 27 = x³ + 3³ Prepoznaj zbir dva kuba.
= (x+3)(x²−3x+9) Primijeni identitet za zbir kubova.
= x³−3x²+9x+3x²−9x+27 Provjeri distributivnim množenjem.
= x³+27 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
Primjer 3: Zbir kubova Rastavi x³ + 64 na faktore.
x³ + 64 = x³ + 4³ Prepoznaj zbir dva kuba.
= (x+4)(x²−4x+16) Primijeni identitet za zbir kubova.
= x³−4x²+16x+4x²−16x+64 Provjeri distributivnim množenjem.
= x³+64 ✓ Srednji članovi se poništavaju.
Sljedeći korak Prikaži cijeli postupak Ispočetka
6. Primijeni i provjeri Primjer i zadatak: Za (x−3)² pomnoži (x−3)(x−3): x²−3x−3x+9=x²−6x+9. Za (x+2)³ rezultat je x³+6x²+12x+8; (x−2)³=x³−6x²+12x−8. Zbir x³+8 rastavlja se u (x+2)(x²−2x+4). Račun 101²=(100+1)²=10000+200+1=10201.
Pokrij rješenje i ponovi postupak. Promijeni jedan podatak, riješi novi zadatak i provjeri ga istom metodom. Objasni zašto se odabrano pravilo može primijeniti.
Samostalni zadaci s provjerom Zadatak 1. Razvij(x−2)³ i(x+3)³.
Provjeri rješenje i postupak x³−6x²+12x−8 i x³+9x²+27x+27.
Zadatak 2. Rastavi 8x³+27 i 27x³−1.
Provjeri rješenje i postupak (2x+3)(4x²−6x+9) i(3x−1)(9x²+3x+1). Provjeri množenjem.
Zadatak 3. Rastavi 2x²−8x+8 i riješi izraz=0.
Provjeri rješenje i postupak 2(x²−4x+4)=2(x−2)²; jednačina ima jedno rješenje x=2.
7. Česte greške ⚠️ Česte greške (a+b)² nije a²+b². U zbiru kubova drugi faktor ima minus u sredini. Rastavljanje treba završiti: x²−4=(x−2)(x+2). 8. Provjeri znanje 1. (x−2)² je
x²−4 x²+4 x²−4x+4
2. x²−9 je
(x+9)(x−1) (x−3)(x+3) (x−3)²
3. x³+8 ima faktor
x+2 x−2 x+8
Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako pogriješiš, ponovi pravila i primjer korak po korak, pa riješi sličan zadatak na papiru.
Izvor zahtjeva: Predmetni kurikulum KS, Matematika, označena str. 41 . Objašnjenja i zadaci su vlastiti sadržaj portala.