Pojam stepena

Kako koristiti ovu lekciju?

Dodatno gradivo i priprema za naredno učenje. Ova stranica nije dio preporučenog osnovnog puta ovog razreda.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

pročitati i zapisati stepen (baza i izložilac),
izračunati kvadrat i kub broja,
odrediti predznak stepena s negativnom bazom,
izračunati stepen broja 10 (npr. 10⁴ = 10 000).

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Šta je stepen?

Zamisli da moraš napisati 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Dugačko je, zar ne? Matematičari su zato smislili kraći zapis: 2⁵. Taj zapis se zove stepen.

aⁿ = a · a · … · a (n puta)

Čitamo: „a na n-ti stepen". Broj 2⁵ čitamo „dva na peti". Njegova vrijednost je 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

2. Baza i izložilac

U zapisu 2⁵ broj 2 se zove baza (ono što množimo), a broj 5 se zove izložilac (govori koliko puta množimo bazu samu sobom).

Primjer: U stepenu 3⁴ baza je 3, a izložilac je 4. Vrijednost: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

💡 Zapamti Izložilac 1 ne mijenja bazu: a¹ = a. Na primjer, 7¹ = 7.

3. Kvadrat i kub broja

Drugi stepen zovemo kvadrat: 5² = 5 · 5 = 25. Treći stepen zovemo kub: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Nazivi dolaze iz geometrije: kvadrat stranice 5 ima površinu 25, a kocka ivice 2 ima zapreminu 8. Zato kažemo „pet na kvadrat" i „dva na kub".

4. Kalkulator stepena — probaj sam/a

🔢 Izračunaj stepen

Upiši bazu i izložilac (izložilac od 0 do 10) i pritisni „Izračunaj". Pogledaj i cijeli raspisani postupak. Probaj: 2⁵ = 32, (−3)² = 9, (−2)³ = −8.

Baza (a) Izložilac (n)

2⁵ = 32

Postupak: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

5. Negativna baza — pazi na zagrade!

Kad je baza negativna, zagrade sve mijenjaju. Uporedi:

(−3)² = (−3) · (−3) = 9 | (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8

Pravilo je jednostavno: paran izložilac daje plus (minusi se ponište u parovima), a neparan izložilac čuva minus. Dakle (−3)² = 9, ali (−2)³ = −8.

6. Stepen broja 10

Stepeni broja 10 su najlakši: iza jedinice dopišeš onoliko nula koliki je izložilac.

10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000

Tako je 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁴ = 10 000. Ovi stepeni će ti kasnije trebati za velike brojeve.

7. Primjer korak po korak: (−2)⁴

Hajde da zajedno, korak po korak, riješimo cijeli postupak za (−2)⁴. Otkrivaj jedan korak po jedan.

(−2)⁴=(−2) · (−2) · (−2) · (−2)Prepiši stepen kao množenje. Izložilac je 4, pa bazu (−2) pišemo 4 puta:
(−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2)

(−2) · (−2)=4Pomnoži prva dva faktora. (−2) · (−2) = 4 (minus puta minus daje plus).
Zapis sada: 4 · (−2) · (−2)

4 · (−2)=−8Pomnoži sljedeći par. 4 · (−2) = −8.
Zapis sada: −8 · (−2)

(−8) · (−2)=16Završi množenje. −8 · (−2) = 16 (opet minus puta minus daje plus).

(−2)⁴=16Provjeri predznak. Izložilac 4 je paran → rezultat je pozitivan. ✅
Rješenje: (−2)⁴ = 16.

Primjer: Izračunaj 3³. Postupak: 3³ = 3 · 3 · 3 = 9 · 3 = 27. Dakle 3³ = 27.

Primjer iz života: U prodavnici su čokoladice složene u kutiju kao kocka: 4 reda, 4 kolone i 4 sloja. Koliko je ukupno čokoladica u kutiji? Zapišemo to kao kub: 4³ = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64 čokoladica. Baš zato treći stepen i zovemo „kub" — računa zapreminu kocke!

⚠️ Česte greške

−2⁴ nije isto što i (−2)⁴! Zapis −2⁴ znači −(2⁴) = −16, dok je (−2)⁴ = 16. Zagrade čuvaju predznak.
Ne množi bazu i izložilac! 2⁵ nije 2 · 5 = 10, nego 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Poštuj redoslijed operacija: 2 · 3² = 2 · 9 = 18, a ne 6² = 36. Prvo stepen, pa množenje.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Stepen kao ponovljeno množenje

Primjer 1

Izračunaj 3³.

3³=3 · 3 · 3Bazu ponovi kao faktor onoliko puta koliki je izložilac.

=9 · 3Množi redom; izložilac nije faktor kojim množiš bazu.

3³=27Zapiši vrijednost stepena.

Primjer 2

Izračunaj 2⁵.

2⁵=2 · 2 · 2 · 2 · 2Bazu ponovi kao faktor onoliko puta koliki je izložilac.

=4 · 2 · 2 · 2Množi redom; izložilac nije faktor kojim množiš bazu.

2⁵=32Zapiši vrijednost stepena.

Primjer 3

Izračunaj 10⁴.

10⁴=10 · 10 · 10 · 10Bazu ponovi kao faktor onoliko puta koliki je izložilac.

=100 · 10 · 10Množi redom; izložilac nije faktor kojim množiš bazu.

10⁴=10000Zapiši vrijednost stepena.

Negativna baza i predznak

Primjer 1

Uporedi (−2)⁴ i −2⁴.

(−2)⁴=(−2) · (−2) · (−2) · (−2)Zagrade znače da znak minus pripada bazi.

(−2)⁴=16Paran broj negativnih faktora daje plus, a neparan minus.

−2⁴ = −(2⁴) = −16Bez zagrada minus je izvan stepena.

Primjer 2

Uporedi (−3)² i −3².

(−3)²=(−3) · (−3)Zagrade znače da znak minus pripada bazi.

(−3)²=9Paran broj negativnih faktora daje plus, a neparan minus.

−3² = −(3²) = −9Bez zagrada minus je izvan stepena.

Primjer 3

Uporedi (−2)³ i −2³.

(−2)³=(−2) · (−2) · (−2)Zagrade znače da znak minus pripada bazi.

(−2)³=−8Paran broj negativnih faktora daje plus, a neparan minus.

−2³ = −(2³) = −8Bez zagrada minus je izvan stepena.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko je 3³?

2. Koliko je (−5)²?

3. Koliko je 10⁴?

4. Koliko je (−2)³?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Oznaka dodatnog gradiva čuva dostupnost ranije objavljene lekcije. Za obavezni redoslijed koristi pregled razreda.