Jednačine, nejednačine i izbor skupa rješenja

🎯 Cilj lekcije

Nakon ove lekcije možeš:

riješiti jednačinu i nejednačinu s negativnim koeficijentom
promijeniti znak pri množenju ili dijeljenju negativnim brojem
razlikovati skupove rješenja u Z i Q i provjeriti smisao

1. Razumij pojam

Jednačinu rješavamo istom dozvoljenom operacijom na obje strane. Za nejednačinu dodavanje i oduzimanje čuvaju znak. Množenje ili dijeljenje negativnim brojem okreće znak nejednakosti. Na primjer, 2 < 5, ali −2 > −5. Na brojevnoj pravoj množenje sa −1 mijenja strane u odnosu na nulu.

Zato iz −3x < 6 dobijaš x > −2. Dijeljenjem sa −3 znak < postaje >. Kod jednačine −3x = 6 dobijaš samo x = −2: jednakost nema smjer koji treba okretati.

2. Poveži i objasni

Zadani skup brojeva je važan. Jednačina 2x = 3 ima rješenje 3/2 u Q, ali nema rješenja u Z. Nejednačina −2 < x < 1 u Z daje {−1, 0}, a u Q daje sve racionalne brojeve između granica, uključujući −1/2 i 3/4.

Rješenje nejednačine prikaži na pravoj: prazan kružić za strogu, pun za uključenu granicu; osjenči odgovarajuću stranu. Zatim ispitaj vrijednost iz skupa i vrijednost izvan njega. U tekstualnom zadatku na kraju provjeri može li dobijeni broj predstavljati broj osoba, dužinu ili novčani iznos.

3. Istraži i provjeri pretpostavku

Prije promjene odabira predvidi rezultat. Zatim uporedi svoj odgovor s prikazom i objasni razliku.

Provjeri x za −2x > 6

4. Riješi korak po korak

2 − 3x − 3 ≤ 8Riješi 2 − 3(x + 1) ≤ 8 u Q. Otvori zagradu: 2 − 3x − 3 ≤ 8.

−3x ≤ 9Sredi: −3x − 1 ≤ 8. Dodaj 1: −3x ≤ 9.

x ≥ −3Podijeli sa −3 i okreni znak: x ≥ −3.

x = −3 → 8 ≤ 8; x = −4 → 11 > 8Granica pripada skupu: za x = −3 lijeva strana je 8. Za x = 0 iznosi −1, što je ≤ 8. Za x = −4 iznosi 11 i ne zadovoljava.

5. Primijeni znanje

Primjer: Vježbaonica prima najviše 20 osoba. Već ih je 7; dolaze još grupe po 3 osobe. Ako je broj grupa x, 7 + 3x ≤ 20 daje 3x ≤ 13, pa x ≤ 13/3. Broj grupa je nenegativan cijeli broj, zato je moguće najviše 4 grupe. Petočlana vrijednost x = 5 dala bi 22 osobe.

Racionalni koeficijenti: Riješi x/2 − 3/4 = −1/4 u Q. Dodaj 3/4: x/2 = 2/4 = 1/2. Pomnoži sa 2: x = 1. Provjera: 1/2 − 3/4 = −1/4. Za nejednačinu −x/2 + 1/4 < 3/4 oduzmi 1/4: −x/2 < 1/2. Pomnoži sa −2 i okreni znak: x > −1. U Z to daje {0, 1, 2, …}, a u Q uključuje i −1/2.

Za zadatak „Trećina broja uvećana za 1/2 je 5/6“ sastavi x/3 + 1/2 = 5/6. Oduzimanjem 1/2 dobijaš x/3 = 1/3, pa x = 1. Nepoznatu i uslov uvijek prvo opiši riječima.

6. Vježbaj i obrazloži

Riješi 5 − 2x < 1 u Q, a zatim navedi rješenja koja pripadaju Z. Riješi (−3/2)x + 1/4 = 7/4 i provjeri uvrštavanjem.

Rješenja

−2x < −4 daje x > 2. Cijela rješenja su 3, 4, 5, … . U jednačini (−3/2)x = 6/4 = 3/2, pa x = −1. Provjera: 3/2 + 1/4 = 7/4.

7. Česte greške

⚠️ Zastani i provjeri

Pri dijeljenju negativnim brojem obavezno okreni znak.
Skup Z ne uključuje razlomke poput 1/2.
Razlikuj granicu koja pripada rješenju od one koja ne pripada.

Od priče do dozvoljenog skupa rješenja

Slovo prvo poveži s veličinom: broj grupa mora biti nenegativan cijeli broj, a dužina može biti pozitivan racionalan broj. Ista nejednačina zato može dati različit odgovor zavisno od značenja slova. Koraci su: opiši x → sastavi uslov → riješi → izdvoji dozvoljene vrijednosti → provjeri priču.

Modelovanje nejednačine i izbor dozvoljenih vrijednosti — korak po korak

Primjer 1

U sali ima 7 osoba. Dolaze grupe po 3 osobe, a u sali smije biti najviše 20 osoba. Koliko grupa može doći?

x ∈ {0,1,2,…}; 7 + 3x ≤ 20Broj grupa mora biti nenegativan cijeli broj.

3x ≤ 13; x ≤ 13/3Oduzmi 7 pa podijeli sa 3.

x ∈ {0,1,2,3,4}Iz racionalnog rješenja izdvoji dozvoljene cijele vrijednosti.

7 + 3 · 4 = 19; 7 + 3 · 5 = 22Četiri grupe stanu, pet ne stane. Najveći broj grupa je 4.

Primjer 2

Na računu je dug 8 KM. Svake sedmice uplatiš 3 KM. Poslije koliko cijelih sedmica stanje prvi put postaje pozitivno?

x ∈ {0,1,2,…}; −8 + 3x > 0Pozitivno znači strogo veće od nule.

3x > 8; x > 8/3Riješi nejednačinu istim operacijama na obje strane.

x ∈ {3,4,5,…}Prva dozvoljena cijela vrijednost je 3.

−8 + 3 · 2 = −2; −8 + 3 · 3 = 1Nakon dvije sedmice još postoji dug; nakon tri ostaje 1 KM.

Primjer 3

Temperatura je 5°C i svakog sata pada za 2°C. Za koje cijele nenegativne brojeve sati je najviše −1°C?

x ∈ {0,1,2,…}; 5 − 2x ≤ −1Pad temperature zapisujemo oduzimanjem 2x.

−2x ≤ −6Oduzmi 5 s obje strane.

x ≥ 3Dijeljenje sa −2 okreće znak.

5 − 2 · 3 = −1; 5 − 2 · 2 = 1Najmanje tri sata. Jednakost pripada jer se traži najviše −1°C.

Pokušaj samostalno

Na ekskurziju ide 11 učenika. Dolaze još grupe po 4, ukupno najviše 30. Sastavi nejednačinu i odredi najveći broj grupa. Zatim za istu nejednačinu napiši rješenje u Q.

Provjeri i obrazloži

11 + 4x ≤ 30 daje x ≤ 19/4. Za broj grupa x ∈ {0,1,2,3,4}, pa najviše četiri. U Q je skup {x ∈ Q : x ≤ 19/4}; u priči dodatno važe nenegativnost i cjelobrojnost.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Dijeljenje pozitivnim brojem

Primjer 1

U skupu ℚ riješi 2x + 3 < 11.

2x < 11 − 3=8Od obje strane oduzmi isti broj.

x < 8 : (2)Dijeljenje pozitivnim brojem ne mijenja smjer nejednakosti.

x < 4Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x < 4}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

Primjer 2

U skupu ℚ riješi 3x + 1 < 16.

3x < 16 − 1=15Od obje strane oduzmi isti broj.

x < 15 : (3)Dijeljenje pozitivnim brojem ne mijenja smjer nejednakosti.

x < 5Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x < 5}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

Primjer 3

U skupu ℚ riješi 4x + 2 < 14.

4x < 14 − 2=12Od obje strane oduzmi isti broj.

x < 12 : (4)Dijeljenje pozitivnim brojem ne mijenja smjer nejednakosti.

x < 3Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x < 3}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

Dijeljenje negativnim brojem

Primjer 1

U skupu ℚ riješi −2x + 3 < −5.

−2x < −5 − 3=−8Od obje strane oduzmi isti broj.

x > −8 : (−2)Dijeljenje negativnim brojem mijenja smjer nejednakosti.

x > 4Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x > 4}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

Primjer 2

U skupu ℚ riješi −3x + 1 < −5.

−3x < −5 − 1=−6Od obje strane oduzmi isti broj.

x > −6 : (−3)Dijeljenje negativnim brojem mijenja smjer nejednakosti.

x > 2Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x > 2}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

Primjer 3

U skupu ℚ riješi −4x + 2 < −10.

−4x < −10 − 2=−12Od obje strane oduzmi isti broj.

x > −12 : (−4)Dijeljenje negativnim brojem mijenja smjer nejednakosti.

x > 3Granica nije uključena jer je nejednakost stroga.

R={x ∈ ℚ : x > 3}Opiši cijeli skup rješenja, a ne samo jedan broj.

8. Provjeri znanje

1. Riješi −2x > 6.

2. Koja su cijela rješenja −1 < x ≤ 2?

3. Jednačina 4x = 3 u Z ima:

Svaki pokušaj ti pokazuje šta već razumiješ. Ako zapneš, ponovi objašnjenje i riješeni primjer prije novog pokušaja.

Veza s kurikulumom

Osnovni program 7. razreda: Matematika — službeni predmetni kurikulum KS, štampana str. 31. Ciljevi iznad su učeniku prilagođena objašnjenja, a ne službene šifre ishoda.