Pojam linearne jednačine

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

objasniti šta je jednačina i šta je njeno rješenje,
prepoznati linearnu jednačinu s jednom nepoznatom,
provjeriti je li zadani broj rješenje jednačine uvrštavanjem,
objasniti pojam ekvivalentnih jednačina.

Prije nego počneš

Ponovi redoslijed računskih operacija. Zagrade imaju prednost; množenje i dijeljenje računaju se prije sabiranja i oduzimanja. Uz svaki broj zadrži njegov znak.

1. Šta je jednačina?

Jednačina je matematička rečenica s jednakošću u kojoj se nalazi nepoznati broj, najčešće označen slovom x. Na primjer: 2x + 1 = 7. Zadatak je pronaći vrijednost nepoznate x za koju je jednakost tačna.

Zamisli jednačinu kao vagu u ravnoteži: lijeva strana (2x + 1) i desna strana (7) moraju uvijek biti jednake, bez obzira koju operaciju radiš — samo nepoznata x mora biti tačno onaj broj koji vagu drži u ravnoteži.

2. Rješenje jednačine

Rješenje jednačine je broj koji, kad ga uvrstimo umjesto nepoznate, daje tačnu jednakost. Provjeru radimo uvrštavanjem u obje strane jednačine.

Primjer: Da li je x = 3 rješenje jednačine 2x + 1 = 7? Uvrsti: 2 · 3 + 1 = 6 + 1 = 7. Lijeva strana je 7, desna je 7 — jednako je, pa je x = 3 rješenje te jednačine.

3. Linearna jednačina

Linearna jednačina s jednom nepoznatom je jednačina u kojoj se nepoznata x pojavljuje samo na prvi stepen (x¹, bez x² ili viših stepena). Opšti oblik je:

ax + b = 0 (a ≠ 0)

Na primjer, 2x + 1 = 7, 3x − 5 = 10 i x + 4 = 2x − 1 su linearne jednačine. Jednačina x² + 1 = 5 nije linearna jer sadrži x².

4. Ekvivalentne jednačine

Dvije jednačine su ekvivalentne ako imaju isto rješenje. Jednačinu smijemo mijenjati (i dalje ostaje ekvivalentna) ako na obje strane uradimo istu operaciju: dodamo isti broj, oduzmemo isti broj, pomnožimo ili podijelimo istim brojem različitim od nule.

2x + 1 = 7 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3

Sve tri jednačine imaju isto rješenje x = 3 — one su ekvivalentne jer je svaka dobijena istom operacijom na obje strane prethodne.

5. Vizual: vaga jednačine

⚖️ Provjeri da li je broj rješenje

Upiši jednačinu preko koeficijenata (a i b u obliku a·x + b) i broj koji želiš provjeriti, pa klikni „Provjeri".

a (uz x) b desna strana provjeri x =

2 · 3 + 1 = 7 ✅

Uvrsti x = 3 u lijevu stranu i uporedi s desnom.

Vaga ispod pokazuje odnos obje strane — kad su jednake, vaga je u ravnoteži.

6. Provjera rješenja korak po korak: je li x = 4 rješenje jednačine 3x − 5 = 7?

3x − 5=7Zapiši jednačinu. 3x − 5 = 7.

L=3 · 4 − 5Uvrsti predloženi broj. Umjesto x stavi 4: 3 · 4 − 5.

L = 12 − 5 = 7Izračunaj lijevu stranu. 3 · 4 − 5 = 12 − 5 = 7.

L = D = 7Uporedi sa desnom stranom. Lijeva strana je 7, desna strana je 7 — jednake su.

x=4Zaključi. Pošto je jednakost tačna, x = 4 jeste rješenje jednačine 3x − 5 = 7.

Primjer: Je li x = 2 rješenje jednačine x + 4 = 2x − 1? Lijeva strana: 2 + 4 = 6. Desna strana: 2 · 2 − 1 = 3. 6 ≠ 3, pa x = 2 nije rješenje te jednačine.

Primjer iz života: Dobio si džeparac i već imaš 10 KM ušteđeno. Svake sedmice dodaješ po 5 KM. Jednačina 5x + 10 = 40 pokazuje poslije koliko sedmica (x) ćeš imati 40 KM. Je li x = 6 rješenje? Uvrsti: 5 · 6 + 10 = 30 + 10 = 40. Lijeva strana je 40, desna je 40 — jednako je, pa je x = 6 rješenje: za 6 sedmica imaćeš tačno 40 KM.

⚠️ Česte greške

Uvrštavanje samo u lijevu stranu: ako jednačina ima nepoznatu i na desnoj strani (npr. x + 4 = 2x − 1), uvrsti broj u obje strane.
Mijenjanje samo jedne strane jednačine: svaka operacija (sabiranje, dijeljenje...) mora se uraditi na obje strane da jednačina ostane ekvivalentna.
Zaboravljen redoslijed računskih operacija: prvo množenje, pa sabiranje — 3 · 4 − 5 je 12 − 5 = 7, a ne 3 · (4−5).

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Provjera ponuđenog rješenja

Primjer 1

Je li x = 4 rješenje jednačine 3x + 2 = 14?

L = 3 · (4) + 2 = 14Umjesto x uvrsti ponuđeni broj u lijevu stranu.

D=14Desna strana ostaje zadani broj.

L=DBroj 4 jeste rješenje jednačine.

Primjer 2

Je li x = 2 rješenje jednačine 2x + 5 = 11?

L = 2 · (2) + 5 = 9Umjesto x uvrsti ponuđeni broj u lijevu stranu.

D=11Desna strana ostaje zadani broj.

L ≠ DBroj 2 nije rješenje jednačine.

Primjer 3

Je li x = 1 rješenje jednačine 4x + 3 = 7?

L = 4 · (1) + 3 = 7Umjesto x uvrsti ponuđeni broj u lijevu stranu.

D=7Desna strana ostaje zadani broj.

L=DBroj 1 jeste rješenje jednačine.

Ekvivalentne jednačine

Primjer 1

Riješi 2x + 3 = 13 pomoću jednakih operacija na obje strane.

2x + 3 − 3=13 − 3Oduzmi isti broj od obje strane; rješenje se ne mijenja.

2x=10Sredi obje strane.

2x : 2=10 : 2Obje strane podijeli nenultim brojem.

x=5Provjera: 2 · 5 + 3 = 13.

Primjer 2

Riješi 3x + 4 = 10 pomoću jednakih operacija na obje strane.

3x + 4 − 4=10 − 4Oduzmi isti broj od obje strane; rješenje se ne mijenja.

3x=6Sredi obje strane.

3x : 3=6 : 3Obje strane podijeli nenultim brojem.

x=2Provjera: 3 · 2 + 4 = 10.

Primjer 3

Riješi 5x + 2 = 17 pomoću jednakih operacija na obje strane.

5x + 2 − 2=17 − 2Oduzmi isti broj od obje strane; rješenje se ne mijenja.

5x=15Sredi obje strane.

5x : 5=15 : 5Obje strane podijeli nenultim brojem.

x=3Provjera: 5 · 3 + 2 = 17.

Kviz — provjeri sebe

1. Da li je x = 5 rješenje jednačine 2x − 3 = 7?

2. Koja je od sljedećih jednačina linearna?

3. Je li x = 1 rješenje jednačine x + 4 = 2x − 1?

4. Jednačine 4x = 12 i x = 3 su:

Provjeri i objasni rezultat

Uvrsti dobijenu vrijednost umjesto x u početnu jednačinu. Posebno izračunaj lijevu i desnu stranu. Moraju dati isti broj. Zatim provjeri da li broj odgovara pitanju iz zadatka.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 32. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.