Pojam mnogougla i elementi

Kako koristiti ovu lekciju?

Osnovni put učenja prema predmetnom kurikulumu KS.

🎯 Cilj lekcije Nakon ove lekcije znat ćeš:

definisati mnogougao i nabrojati njegove elemente,
razlikovati konveksan od nekonveksnog mnogougla,
prepoznati pravilni mnogougao,
izračunati broj dijagonala mnogougla formulom n(n−3)/2.

Prije nego počneš

Pripremi ravnalo, šestar i uglomjer. Razlikuj duž od prave i obim od površine. Na crtežu prvo označi poznate podatke.

1. Šta je mnogougao?

Mnogougao (ili poligon) je ravna geometrijska figura ograničena sa najmanje tri duži (stranice) koje se spajaju u tjemenima, tako da zatvaraju jednu površ. Trougao, četverougao, petougao, šestougao... — svi su mnogouglovi, razlikuju se samo po broju stranica.

2. Elementi mnogougla

Svaki mnogougao ima:

tjemena — tačke u kojima se spajaju stranice,
stranice — duži koje spajaju susjedna tjemena,
unutrašnje uglove — uglove između dvije susjedne stranice,
dijagonale — duži koje spajaju dva nesusjedna tjemena.

Mnogougao sa n stranica ima tačno n tjemena i n unutrašnjih uglova.

3. Konveksan i nekonveksan mnogougao

Mnogougao je konveksan ako su svi njegovi unutrašnji uglovi manji od 180° (duž koja spaja bilo koje dvije tačke mnogougla ostaje unutar njega). Ako je bar jedan unutrašnji ugao veći od 180° (mnogougao ima "udubljenje"), zove se nekonveksan.

Ako su sve stranice mnogougla jednake dužine i svi uglovi jednake veličine, mnogougao se zove pravilni mnogougao (npr. kvadrat je pravilni četverougao, jednakostranični trougao je pravilni trougao).

4. Broj dijagonala mnogougla

Iz svakog tjemena mnogougla sa n stranica može se povući n − 3 dijagonale (ne računajući susjedna tjemena i samo tjeme). Pošto svaka dijagonala ima dva kraja, ukupan broj dijagonala je:

broj dijagonala = n(n − 3) / 2

Primjer: Šestougao (n = 6) ima 6 · (6−3) / 2 = 6 · 3 / 2 = 9 dijagonala.

Primjer iz života: Na rođendanu dobiješ poklon u kutiji neobičnog oblika — pravilan devetougao (n = 9). Koliko dijagonala ima ta kutija? 9 · (9 − 3) / 2 = 9 · 6 / 2 = 27 dijagonala!

5. Vizual: istraži mnogougao

🔷 Mnogougao sa n stranica

Pomjeri klizač za broj stranica n (3–12) — vizual odmah crta pravilni mnogougao i prikazuje broj tjemena, stranica i dijagonala. Dugme "Animiraj" samo redom prikazuje sve mnogouglove od trougla do dvanaestougla.

broj stranica (n): 6

Šestougao: 6 tjemena, 6 stranica, 9 dijagonala.

6. Primjer korak po korak: broj dijagonala osmougla

n=8Zapiši broj stranica. Osmougao ima n = 8 stranica.

d = n(n − 3) : 2 = 8(8 − 3) : 2Primijeni formulu. broj dijagonala = n(n − 3) / 2 = 8 · (8 − 3) / 2.

8 − 3=5Izračunaj zagradu. 8 − 3 = 5, pa imamo 8 · 5 / 2.

8 · 5 : 2=20Pomnoži i podijeli. 8 · 5 = 40, a 40 / 2 = 20.

d=20Zapiši rješenje. Osmougao ima 20 dijagonala.

Primjer: Petougao (n = 5) ima 5 · (5−3) / 2 = 5 · 2 / 2 = 5 dijagonala.

⚠️ Česte greške

Zaboravljeno oduzimanje 3 u formuli: iz svakog tjemena se NE može povući dijagonala do sebe samog ni do dva susjedna tjemena — zato n − 3, ne n − 1.
Zaboravljeno dijeljenje sa 2: svaka dijagonala se broji dva puta (jednom iz svakog kraja), zato se na kraju dijeli sa 2.
Mnogougao mora imati bar 3 stranice — lik sa dvije stranice ne postoji u ravni.

Riješeni zadaci — korak po korak

Prati postupak red po red. Komentar uz svaki red objašnjava šta radiš. Prvo pokušaj samostalno, pa otkrij sljedeći korak.

Brojanje elemenata i dijagonala

Primjer 1

Koliko stranica, vrhova i dijagonala ima konveksni 5-ugao?

Stranica: 5; vrhova: 5Svakoj stranici odgovara jedan vrh.

d = n(n − 3) : 2 = 5 · 2 : 2Iz svakog vrha idu n − 3 dijagonale; svaku smo brojali dvaput.

d=5To je ukupan broj dijagonala.

Primjer 2

Koliko stranica, vrhova i dijagonala ima konveksni 6-ugao?

Stranica: 6; vrhova: 6Svakoj stranici odgovara jedan vrh.

d = n(n − 3) : 2 = 6 · 3 : 2Iz svakog vrha idu n − 3 dijagonale; svaku smo brojali dvaput.

d=9To je ukupan broj dijagonala.

Primjer 3

Koliko stranica, vrhova i dijagonala ima konveksni 9-ugao?

Stranica: 9; vrhova: 9Svakoj stranici odgovara jedan vrh.

d = n(n − 3) : 2 = 9 · 6 : 2Iz svakog vrha idu n − 3 dijagonale; svaku smo brojali dvaput.

d=27To je ukupan broj dijagonala.

Dijagonale iz jednog vrha

Primjer 1

Na koliko trouglova dijagonale iz jednog vrha dijele konveksni 4-ugao?

Dijagonala iz vrha: 4 − 3=1Vrh ne spajaš sam sa sobom niti sa susjednim vrhovima.

Broj trouglova: 4 − 2=2Nacrtaj lepezu dijagonala iz jednog vrha.

1 dijagonala → 2 trouglovaBroj dijelova je za jedan veći od broja povučenih dijagonala.

Primjer 2

Na koliko trouglova dijagonale iz jednog vrha dijele konveksni 7-ugao?

Dijagonala iz vrha: 7 − 3=4Vrh ne spajaš sam sa sobom niti sa susjednim vrhovima.

Broj trouglova: 7 − 2=5Nacrtaj lepezu dijagonala iz jednog vrha.

4 dijagonala → 5 trouglovaBroj dijelova je za jedan veći od broja povučenih dijagonala.

Primjer 3

Na koliko trouglova dijagonale iz jednog vrha dijele konveksni 8-ugao?

Dijagonala iz vrha: 8 − 3=5Vrh ne spajaš sam sa sobom niti sa susjednim vrhovima.

Broj trouglova: 8 − 2=6Nacrtaj lepezu dijagonala iz jednog vrha.

5 dijagonala → 6 trouglovaBroj dijelova je za jedan veći od broja povučenih dijagonala.

Kviz — provjeri sebe

1. Koliko tjemena ima sedmougao?

2. Koliko dijagonala ima petougao?

3. Mnogougao kod kojeg je bar jedan unutrašnji ugao veći od 180° zove se:

4. Koliko dijagonala ima četverougao (npr. kvadrat)?

Provjeri i objasni rezultat

Ponovo pročitaj šta se traži. Rezultat provjeri obrnutom operacijom ili drugim postupkom. Za račun 3/4 + 1/4 = 1 provjera oduzimanjem daje 1 − 1/4 = 3/4. Objasni svojim riječima zašto tvoj rezultat ima smisla.

Veza s programom: službeni kurikulum KS, 7. razred, štampana str. 34. Naslovi ciljeva su prilagođeni učeniku.